2D-Kreuzprodukt-Rechner
Für die Vektoren (3, 4) und (−2, 5) ergibt das 2D-Kreuzprodukt 23: positiv, der zweite Vektor ist also gegenüber dem ersten gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Das Vorzeichen bleibt bewusst erhalten, weil es links und rechts in Geometrie, Mechanik und Grafik unterscheidet. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A x
- 3
- A y
- 4
- B x
- -2
- B y
- 5
- Vorzeichenbehafteter Betrag
- 23
Der Skalar behält sein Vorzeichen: Ein positives Ergebnis bedeutet eine Drehung vom ersten zum zweiten Vektor gegen den Uhrzeigersinn, ein negatives Ergebnis eine Drehung im Uhrzeigersinn. Null zeigt parallele Vektoren oder einen Nullvektor an. Geben Sie die vier Komponenten ein, um ein exaktes, deterministisches Ergebnis für Geometrie, Mechanik, Grafik und Orientierungstests zu erhalten.
Was das vorzeichenbehaftete 2D-Kreuzprodukt aussagt
In drei Dimensionen ist das Kreuzprodukt ein Vektor, der senkrecht auf beiden Eingangsvektoren steht. Sind die Vektoren auf eine Ebene beschränkt, ist nur die senkrechte Komponente von Bedeutung; deshalb wird sie üblicherweise als Skalar angegeben. Der Absolutwert entspricht der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, während das Vorzeichen ihre Orientierung festhält.
Ein positiver Wert zeigt nach der üblichen kartesischen Konvention eine Drehung von a nach b gegen den Uhrzeigersinn an. Ein negativer Wert steht für eine Drehung im Uhrzeigersinn. Das Ergebnis null bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind: Sie weisen in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen, oder einer von ihnen hat die Länge null.
Da das Vorzeichen wichtige geometrische Informationen enthält, bildet der Rechner bewusst nicht den Absolutwert des Ergebnisses.
Komponenten eingeben und das Ergebnis deuten
Die Werte dürfen positiv, negativ oder null sein und Dezimalstellen enthalten. Nach dem Vertauschen der Operanden muss beispielsweise aus einem positiven vorzeichenbehafteten Betrag ein gleich großer negativer Wert werden. Haben beide Vektoren dieselbe physikalische Einheit, besitzt der Skalar deren Quadrat: Zwei in Metern angegebene Vektoren ergeben einen flächenartigen Wert in Quadratmetern.
Extrem große endliche Komponenten können den gewöhnlichen Zahlenbereich überschreiten. Dann weist der Rechner die Determinante zurück, statt eine irreführende Unendlichkeit auszugeben.
Die Determinante in Geometrie und Berechnungen nutzen
Die vorzeichenbehaftete Determinante ist ein kompakter Baustein vieler ebener Algorithmen. In der algorithmischen Geometrie lässt sich damit bestimmen, ob ein Punkt links oder rechts von einer gerichteten Geraden liegt. Dazu werden zwei Verschiebungsvektoren mit gemeinsamem Ursprung gebildet.
Polygonverfahren verwenden wiederholt vorzeichenbehaftete Kreuzprodukte, um Konvexität zu prüfen, Randpunkte zu ordnen und orientierte Flächen aufzusummieren. In der Mechanik liefert derselbe Ausdruck die aus der Ebene herausweisende Komponente des Drehmoments, wenn Position und Kraft zweidimensional dargestellt werden. Computergrafik und Spiele nutzen ihn für Blickrichtung, Umlaufsinn, Lenkrichtung und die Feststellung, auf welcher Seite einer Kante ein Objekt liegt.
Benötigen Sie nur die physikalische Fläche, verwenden Sie den Absolutwert des ausgegebenen vorzeichenbehafteten Betrags. Für ein Dreieck mit den beiden Vektoren als Seiten halbieren Sie diesen Wert. Behalten Sie das Vorzeichen bei, wenn die Orientierung wichtig ist, denn ohne Vorzeichen geht der Unterschied zwischen Anordnungen im und gegen den Uhrzeigersinn verloren.
Anwendungsfälle
Links- oder Rechtsorientierung prüfen
Ordnen Sie anhand des Determinantenvorzeichens die Drehung zwischen zwei gerichteten Vektoren als links, rechts oder kollinear ein.
Fläche eines Parallelogramms oder Dreiecks bestimmen
Nehmen Sie für das Parallelogramm den Absolutwert und halbieren Sie ihn für das zugehörige Dreieck.
Ebenes Drehmoment berechnen
Bestimmen Sie aus zweidimensionalen Positions- und Kraftvektoren die vorzeichenbehaftete senkrechte Drehmomentkomponente.
Häufige Fragen
Warum kann ein Betrag negativ sein?
Der Rechner bewahrt das Vorzeichen der ebenen Determinante, damit das Ergebnis zugleich die Orientierung beschreibt. Verwenden Sie den Absolutwert, wenn Sie nur eine nicht negative geometrische Fläche benötigen.
Was bedeutet ein Ergebnis von null?
Die Vektoren sind linear abhängig: Sie sind parallel, antiparallel, oder mindestens einer von ihnen ist der Nullvektor.
Was geschieht, wenn ich die Vektoren vertausche?
Beim Vertauschen ändert sich nur das Vorzeichen. Die absolute Fläche bleibt gleich.
Wie berechne ich das 2D-Kreuzprodukt von (3, 4) und (−2, 5)?
Sie multiplizieren 3 mit 5 und ziehen 4 mal −2 ab: Das Ergebnis ist 23. Weil es positiv ist, ist der zweite Vektor gegenüber dem ersten gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Wie erhalte ich daraus die Fläche eines Dreiecks?
Nehmen Sie den Betrag des vorzeichenbehafteten Ergebnisses und teilen Sie ihn durch zwei. Der Betrag allein ist die Fläche des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms; ein Dreieck mit diesen zwei Seiten deckt die Hälfte davon ab.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/cross-product-magnitude-2d \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a_x":3,"a_y":4,"b_x":-2,"b_y":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/cross-product-magnitude-2d", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a_x": 3,
"a_y": 4,
"b_x": -2,
"b_y": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/cross-product-magnitude-2d",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a_x": 3,
"a_y": 4,
"b_x": -2,
"b_y": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/cross-product-magnitude-2d", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a_x":3,"a_y":4,"b_x":-2,"b_y":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a_x":3,"a_y":4,"b_x":-2,"b_y":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/cross-product-magnitude-2d", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a_x": 3,
"a_y": 4,
"b_x": -2,
"b_y": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.cross_product_magnitude_2d",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner für den Betrag des zweidimensionalen Kreuzprodukts wertet zwei ebene Vektoren mit der Determinante a_x b_y minus a_y b_x aus.
Was das vorzeichenbehaftete 2D-Kreuzprodukt aussagt
Für a = (a_x, a_y) und b = (b_x, b_y) berechnet dieses Werkzeug a_x b_y − a_y b_x.
Komponenten eingeben und das Ergebnis deuten
Tragen Sie die horizontale und vertikale Komponente des ersten Vektors in a_x und a_y ein. Geben Sie danach die entsprechenden Komponenten des zweiten Vektors in b_x und b_y an. Die Reihenfolge der Vektoren ist entscheidend: Wenn Sie a und b vertauschen, kehrt sich das Vorzeichen um, denn b_x a_y − b_y a_x ist das Negative der ursprünglichen Determinante. Diese Antisymmetrie eignet sich zur Prüfung einer Orientierungslogik.
Technische Fragen
Welche Formel verwendet der Rechner?
Für a = (a_x, a_y) und b = (b_x, b_y) berechnet er a_x b_y minus a_y b_x.
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Die Berechnung im Browser nutzt dieselbe deterministische Arithmetik.