Rationale Exponenten

Ein rationaler Exponent ist ein Bruch an der Exponentenstelle: a hoch p durch q. Algebra-Lehrbücher schreiben diese Potenz als q-te Wurzel von a um, anschließend hoch p, was derselben p-ten Potenz von a unter einer q-ten Wurzel entspricht. Lernende, Tutorinnen und Aufgabenautorinnen suchen einen Rechner für rationale Exponenten, wenn sie den Zahlenwert von acht hoch zwei Drittel, sechzehn hoch drei Viertel oder siebenundzwanzig hoch zwei Drittel brauchen, ohne eine Hauptwurzel von Hand zu raten. Dieses Werkzeug nimmt eine endliche Basis zusammen mit dem Zähler p und dem Nenner q des Exponenten entgegen, kürzt p durch q, wenn beide Teile ganzzahlig sind, zieht die reelle q-te Wurzel der Basis, erhebt diese Wurzel auf p und liefert den entstehenden Wert. Acht hoch zwei Drittel ist vier.

Was a^(p/q) bedeutet und wie der reelle Wert entsteht

Die Identität des rationalen Exponenten ist die Algebra-Regel, die eine gebrochene Potenz in eine Wurzel und eine ganzzahlige Potenz derselben Basis verwandelt: a hoch p durch q gleich der q-ten Wurzel von a, anschließend hoch p, was auch die q-te Wurzel von a hoch p ist.

Die übliche Unterrichtsbegründung beginnt bei positiven ganzen Zahlen. a hoch 1 durch q ist als die reelle Zahl definiert, deren q-te Potenz a ist, sofern diese reelle Zahl existiert; diese Wurzel auf p zu erheben multipliziert den Exponenten und stellt a hoch p durch q wieder her. Zuerst zu kürzen ist entscheidend. Sechzehn hoch zwei Viertel ist keine gerade vierte Wurzel eines späteren Quadrats; zwei Viertel kürzt sich zu einem Halben, der Wert ist also die Quadratwurzel von sechzehn, nämlich vier.

Acht hoch zwei Drittel ist die Kubikwurzel von acht, also zwei, anschließend zum Quadrat, also vier. Siebenundzwanzig hoch zwei Drittel ist neun. Negative Exponenten kehren um: vier hoch minus ein Halbes ist eins durch die Quadratwurzel von vier, also ein Halbes.

Eine negative Basis ist nur zulässig, wenn der gekürzte Nenner ungerade ist, damit die reelle ungerade Wurzel existiert: minus acht hoch ein Drittel ist minus zwei, und minus acht hoch zwei Drittel ist vier. Ein gerader gekürzter Nenner bei negativer Basis ist keine reelle Zahl und wird abgelehnt. Null hoch einem positiven gekürzten Exponenten ist null; null hoch einem nichtpositiven Exponenten ist in diesem Vertrag undefiniert.

Dieser Rechner ist kein Armaturenbrett der Exponentengesetze, kein geschachteltes Produkt einer Potenz einer Potenz zweier ganzer Exponenten und kein Radikalvereinfacher, der Quadratwurzeln als a mal Wurzel aus b umschreibt. Wer einen Rechner für rationale Exponenten sucht, will a^(p/q) aus den drei Zahlen ausgewertet, die bereits vorliegen.

Eingabevertrag, gekürzter Bruch und wie Fehler gemeldet werden

Ein Nenner genau null wird abgelehnt, weil p durch q undefiniert ist; das ist der kennzeichnende Fehler, den diese Fähigkeit fangen soll, und er wird nicht berechnet.

Bei Erfolg spiegelt der Körper die drei Eingaben, liefert den gekürzten Zähler und den gekürzten Nenner, wenn p und q ganzzahlig sind, nachdem der größte gemeinsame Teiler herausgezogen und der Nenner positiv erzwungen wurde, liefert exponent als den reellen Quotienten von p geteilt durch q, liefert value als die endliche reelle Zahl, die entsteht, wenn die reelle q-te Wurzel der Basis gezogen und auf p erhoben wird, und enthält eine kurze Ausdruckszeichenkette plus die Formel a^(p/q) gleich der q-ten Wurzel von a, hoch p, damit eine Seite die Identität neben der Antwort drucken kann.

Zahlenergebnisse werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Referenzen und Clients über JavaScript-Laufzeiten hinweg stabil vergleichen. Ist die ausgewertete Potenz Infinity oder NaN, oder würde eine negative Basis eine gerade Wurzel verlangen, schlägt die Aufgabe fehl, statt eine nichtendliche Zahl zurückzugeben. Gescheiterte Prüfung wird nicht berechnet.

Verknüpfen Sie die Zahlenfelder mit Ihrem eigenen Text, wenn Sie eine unterrichtliche Ausarbeitung jeder Umschreibung brauchen; dieser Endpunkt berechnet den gekürzten Bruch und den Wert und gibt keine ausgearbeiteten Lösungen jenseits der Formel- und Ausdruckszeichenketten aus.

Wo gebrochene Exponenten vorkommen

Unterrichtsräume und Tutoriums-Plattformen nutzen einen eigenen Rechner für rationale Exponenten, damit Lernende acht hoch zwei Drittel gegen das Zweistufenverfahren Wurzel und dann Potenz prüfen, ohne es mit der Produktregel zu vermischen, die Exponenten gleichbasiger Potenzen addiert. Prüfungs-Generatoren und Lernverwaltungs-Erweiterungen brauchen ein deterministisches Orakel, das sechzehn hoch drei Viertel als acht wertet, vorzeichenbehaftete Zähler zulässt, sobald die reelle Potenz definiert ist, zwei Viertel vor dem Wurzelziehen auf ein Halbes kürzt und einen Nenner null ablehnt, statt stillschweigend Infinity zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg behandeln könnte.

Wissenschafts- und Ingenieurhefte werten gebrochene Potenzen in Skalengesetzen, Ähnlichkeitsbeziehungen und Dimensionsanalyse aus — einundachtzig hoch drei Viertel als siebenundzwanzig zu schreiben ist derselbe Wurzel-dann-Potenz-Schritt, den dieser Endpunkt ausführt. Tabellenkalkulationsnutzer, die POWER- und Wurzelfunktionen stapeln, wollen oft eine einzige ausgewertete Zahl, die sich zurück in eine Zelle einfügen lässt. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie den gerundeten Wert in Tests fest, und Sie erhalten ein reproduzierbares a hoch p durch q, ohne eine Computeralgebra-Bibliothek für einen gekürzten Bruch und eine reelle Wurzel aufzustellen.