Rechner für Idempotente modulo n
Modulo 12 gibt es vier Reste, die sich beim Quadrieren nicht ändern: 0, 1, 4 und 9. Geben Sie einen Modul bis eine Billion ein und erhalten Sie die vollständige, sortierte Liste samt den Primzahlpotenzen, die ihre Anzahl erklären. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 12
- Idempotente
- 0, 1, 4, 9
- Anzahl
- 4
- Primzahlpotenz-Faktoren
- 4, 3
Ein Idempotent modulo n ist ein Rest, der sich bei der Multiplikation mit sich selbst nicht ändert: Das Quadrat von x ist kongruent zu x modulo n. Dieser Rechner liefert die vollständige, sortierte Liste von null bis n minus eins, nicht nur eine Anzahl oder ein einzelnes Beispiel. Er zerlegt den Modul in paarweise teilerfremde Primzahlpotenzen und konstruiert mit dem chinesischen Restsatz jede Lösung exakt. Die Antwort enthält auch diese Faktoren, damit Sie das Ergebnis leicht prüfen, vermitteln, testen oder in einem anderen Ablauf der modularen Arithmetik weiterverwenden können.
Was ein Idempotent modulo n ist
Ein Idempotent modulo n ist ein Rest, der beim Quadrieren gleich bleibt: x mal x lässt bei Division durch n denselben Rest wie x selbst. Gleichwertig heißt das, dass n das Produkt x mal (x − 1) teilt. Bei einer Primzahlpotenz erfüllen nur 0 und 1 diese Bedingung. Bei zusammengesetzten Moduln kommen weitere Lösungen hinzu, weil verschiedene Primzahlpotenzen von n die beiden Nachbarn x und x − 1 getrennt teilen können. Modulo 12 sind das 0, 1, 4 und 9.
So entsteht die Liste und wofür sie dient
Der Rechner zerlegt den Modul zunächst in Primzahlpotenzen, etwa 12 in 4 mal 3. Für jede Potenz wählt er 0 oder 1, und der chinesische Restsatz setzt jede Wahl zu genau einem Rest modulo n zusammen. Bei k verschiedenen Primfaktoren entstehen so 2^k Idempotente, ohne jeden Rest einzeln zu prüfen. Das hilft im Unterricht zum chinesischen Restsatz und beim Erkunden endlicher Ringe. Ein häufiger Fehler ist, nur 0 und 1 zu erwarten oder die Primfaktoren 2, 2 und 3 getrennt zu zählen statt der Potenz 4.
Was ein idempotenter Rest bedeutet
Die definierende Kongruenz lautet x² ≡ x (mod n). Gleichwertig dazu teilt n das Produkt x(x − 1). Null und eins sind immer Lösungen, weil das Quadrieren ihre Restklasse nicht verändert.
Zusammengesetzte Moduln können weitere Lösungen besitzen: Verschiedene Primzahlpotenzen von n dürfen jeweils einen der benachbarten Faktoren x und x − 1 teilen. Modulo zwölf lautet die vollständige Menge beispielsweise null, eins, vier und neun. Vier funktioniert, weil sechzehn und vier sich um zwölf unterscheiden; neun funktioniert, weil die Differenz zwischen einundachtzig und neun zweiundsiebzig beträgt. idempotents enthält ausschließlich kanonische Vertreter zwischen null und n minus eins, ohne Duplikate und numerisch sortiert. count nennt ihre Anzahl.
So erhalten Sie sämtliche Lösungen statt lediglich einer Prüfung für einen Kandidaten.
Wie die vollständige Liste entsteht
Zunächst zerlegt der Algorithmus n in maximale Primzahlpotenzen. Diese Faktoren sind paarweise teilerfremd und ihr Produkt ist n. Über einer Primzahlpotenz besitzt x² ≡ x genau zwei Klassen: null und eins.
Nach dem chinesischen Restsatz bestimmt jede unabhängige Wahl von null oder eins für jeden Faktor genau eine Klasse modulo n. Enthält n k verschiedene Primzahlen, gibt es folglich 2^k Idempotente. Der Rechner durchsucht nicht alle ganzen Zahlen bis n minus eins.
Für jede Potenz q bildet er n/q und berechnet deren exaktes modulares Inverses modulo q. Danach kombiniert er die CRT-Basisterme für alle Binärmuster, reduziert modulo n und sortiert die Ergebnisse. Die Faktorisierung erfolgt durch deterministische Probedivision; CRT-Produkte und Inversionen verwenden BigInt gegen Rundungsfehler.
Netzwerk, Uhr, Zufall und veränderlicher Cache bleiben unbenutzt, weshalb dieselbe Eingabe stets identische Faktoren und dieselbe Reihenfolge liefert.
Anwendungsfälle
Den chinesischen Restsatz vermitteln
Zeigen Sie, wie unabhängige Null-oder-eins-Wahlen auf Primzahlpotenzen zu konkreten Resten modulo einer zusammengesetzten Zahl werden.
Code für modulare Arithmetik testen
Erzeugen Sie eine exakte, sortierte Referenz für Implementierungen von Ringen, Kongruenzen oder Restklassen.
Die Struktur endlicher Ringe erkunden
Listen Sie Elemente auf, die bei der Multiplikation im Restklassenring der ganzen Zahlen wie Projektionen wirken.
Häufige Fragen
Sind null und eins immer enthalten?
Ja. Beide sind stets idempotent; bei n gleich eins bezeichnen beide Namen den einzigen kanonischen Rest null.
Wie viele Idempotente gibt es?
Für n größer als eins mit k verschiedenen Primfaktoren gibt es genau 2^k. Der Modul eins besitzt nur eine Klasse.
Warum werden Primzahlpotenzen ausgegeben?
Sie zeigen die teilerfremden Komponenten des chinesischen Restsatzes und erklären die Zahl der Lösungen.
Prüft der Rechner jeden Rest?
Nein. Er faktorisiert n und konstruiert die vollständige Menge unmittelbar mit CRT-Basistermen.
Welche Idempotente gibt es modulo 12?
Es sind 0, 1, 4 und 9. Zum Beispiel ist 4 zum Quadrat 16, was bei Division durch 12 den Rest 4 lässt, und 9 zum Quadrat ist 81 mit dem Rest 9. Da 12 zwei verschiedene Primfaktoren hat, sind es vier.
Sind 0 und 1 immer dabei?
Ja. Quadriert man 0 oder 1, erhält man wieder denselben Wert, deshalb sind beide für jeden Modul idempotent. Beim Modul 1 gibt es nur einen einzigen Rest, die 0, und auch sie zählt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/idempotents-mod-n \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/idempotents-mod-n", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/idempotents-mod-n",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/idempotents-mod-n", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/idempotents-mod-n", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 12
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.idempotents_mod_n",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Was ein idempotenter Rest bedeutet
Für n gleich eins gibt es nur die durch null dargestellte Klasse, die ebenfalls idempotent ist. prime_power_factors zeigt die verwendete Struktur: Zwölf erscheint als vier mal drei und nicht als zwei mal zwei mal drei.
Wie die vollständige Liste entsteht
Die Obergrenze von einer Billion hält die Laufzeit vorhersehbar und sämtliche Rückgaben sichere JSON-Ganzzahlen.
Modul übergeben und Antwort verwenden
Werte oberhalb der veröffentlichten Grenze von einer Billion werden ebenfalls abgelehnt. Zur Kontrolle muss count gleich zwei hoch der Anzahl verschiedener Primzahlen sein; n gleich eins ist der Sonderfall mit leerer Faktorenliste und Anzahl eins. Sie können jedes x prüfen, indem Sie feststellen, ob der nichtnegative Rest von x mal x minus x modulo n null ist. Die Ausgabe eignet sich für Routinen über endlichen Ringen, Bibliothekstests, Aufgaben zum chinesischen Restsatz und modulare Berechnungen. Übergeben Sie n als positive JSON-Ganzzahl oder als einfache dezimale Zeichenkette. Für Formulare mit einem beschreibenden Feldnamen wird auch der Alias modulus akzeptiert. Ein führendes Pluszeichen ist in einer Zeichenkette zulässig; Brüche, Exponentialschreibweise, Hexadezimalpräfixe, Leerraum, negative Zahlen, null, fehlende Werte, Arrays und unpassende Objekte führen dagegen zu invalid_input. Nach Erfolg enthält idempotents die vollständige aufsteigende Menge, count deren Größe und prime_power_factors die teilerfremde Zerlegung. Ein erfolgreicher API-Aufruf kostet $0.002; das kostenlose Browserwerkzeug nutzt dieselbe reine Funktion.
Technische Fragen
Welche Eingaben werden abgelehnt?
Fehlende oder nicht ganzzahlige Werte, Zahlen unter eins, ungültige Dezimalzeichenketten und Moduln über der Grenze ergeben invalid_input.