Verificatore primi di Wieferich

Un primo di Wieferich è un numero primo p per il quale due elevato a p meno uno lascia resto uno quando si divide per p al quadrato. Quella congruenza rafforza l'enunciato abituale del piccolo teorema di Fermat secondo cui due a p meno uno è uno modulo p, e compare nello studio dell'ultimo teorema di Fermat per il primo caso, nei lemmi di elevamento dell'esponente e nei vincoli sui numeri perfetti dispari. Solo due tali primi sono noti—1093 e 3511—così la maggior parte dei primi quotidiani fallisce il test. Questo verificatore accetta un unico primo p, verifica la primalità, calcola la potenza modulare esatta con aritmetica BigInt deterministica e restituisce se il resto è uno insieme a p al quadrato e a una breve stringa di congruenza.

Cos'è un primo di Wieferich e perché il modulo è p al quadrato

Il piccolo teorema di Fermat afferma che se p è primo e non divide la base a, allora a elevato a p meno uno è congruente a uno modulo p. Per a uguale a due ciò è semplicemente due a p meno uno congruente a uno modulo p per ogni primo dispari p. Un primo di Wieferich chiede la stessa congruenza un modulo più alto: due a p meno uno deve essere congruente a uno modulo p al quadrato, non solo modulo p.

In modo equivalente, l'ordine di due nel gruppo moltiplicativo delle unità modulo p al quadrato divide p meno uno in modo che il quoziente di Fermat di due in base p si annulli. Quel fattore p extra nel modulo rende la condizione estremamente rara. Ricerche informatiche esaustive hanno controllato primi ben oltre qualsiasi esempio didattico, e le uniche soluzioni note restano p uguale a 1093 e p uguale a 3511.

Il primo due fallisce: due alla prima potenza è due, e due modulo quattro è due, non uno. Primi ordinari come tre, cinque, sette e undici producono resti diversi da uno quando due a p meno uno è ridotto modulo p al quadrato.

Dove un verificatore di primi di Wieferich dà valore

I corsi di teoria dei numeri e le piattaforme di allenamento per gare usano un verificatore di primi di Wieferich affinché chi studia possa verificare le affermazioni dei manuali sui due esempi noti senza implementare a mano l'esponenziazione modulare e senza confondere il modulo p con p al quadrato. Taccuini di ricerca e script di matematica ricreativa chiamano lo stesso contratto quando scansionano primi candidati o validano tabelle offline contro un oracolo indipendente.

Siti di contenuto che si posizionano su verificatore di primi di Wieferich o sul quoziente di Fermat beneficiano di uno strumento live il cui percorso gratuito coincide byte per byte con l'automazione a pagamento. Team di ingegneria che insegnano o dimostrano teoria dei numeri crittografica possono mostrare come una congruenza simile al piccolo teorema di Fermat diventi rarissima una volta che il modulo è al quadrato, rafforzando perché le ipotesi modulari ingenue richiedono un enunciato attento.

Preferisca questo strumento quando la domanda è strettamente se un dato primo soddisfa due a p meno uno congruente a uno modulo p al quadrato—non quando serve una ricerca di tutti i primi in un intervallo, un servizio di fattorizzazione completa o certificati per interi da migliaia di bit.