Piccolo teorema di Fermat
2 elevato alla 6 modulo 7 lascia 1, come prevede il piccolo teorema di Fermat. Inserisca una base a e un primo p e otterrà il residuo di a elevato a p meno 1 modulo p; un composto viene rifiutato, mai preso per primo. Gratis nel suo browser.
- Gratis
- Funziona nel suo browser
- Senza registrazione
- I suoi dati restano sul dispositivo
Esegui gratis nel browser
Esempio risolto
- Base
- 2
- Primo
- 7
- Base ridotta
- 2
- Esponente
- 6
- Resto
- 1
- Espressione
- 2^{6} ≡ 1 (mod 7)
Il piccolo teorema di Fermat afferma che, se p è primo e a è un intero non divisibile per p, allora a elevato a p meno uno è congruente a uno modulo p. Quell'identità sostiene i test di primalità di Fermat, gli inversi in un campo primo e i problemi da gara che chiedono di ridurre una potenza enorme senza espanderla. Questo calcolatore accetta una base a e un modulo primo p, verifica che p sia davvero primo e restituisce il residuo esatto di a elevato a p meno uno modulo p con esponenziazione modulare BigInt deterministica. Quando a e p sono coprimi il residuo è uno, che è il teorema; quando p divide a il residuo è zero.
Cosa afferma il piccolo teorema di Fermat e cosa significa il residuo
Il piccolo teorema di Fermat dice che se p è un numero primo e a è un intero che non è multiplo di p, allora a elevato a p meno uno è congruente a uno modulo p. In simboli, a alla p meno uno congruente a uno mod p. Una forma equivalente, valida anche quando p divide a, è a alla p congruente a a modulo p.
La prima forma è quella che questa capacità valuta: calcola il residuo di a alla p meno uno modulo p e lo restituisce come risultato principale. Quando a e p sono coprimi il residuo è sempre uno, che è il teorema; è il controllo che chi studia scrive nei compiti e l'identità usata per invertire a modulo p elevando a alla p meno due.
Quando p divide a la potenza collassa a zero modulo p perché ogni potenza positiva di un multiplo di p resta un multiplo di p, così il residuo è zero e il flag coprime è falso. Le basi negative sono accettate e ridotte nell'intervallo da zero a p meno uno prima della potenza, il che mantiene il resto non negativo e coincide con la convenzione didattica usuale dell'aritmetica modulare.
Dove questo controllo è più utile
I corsi di teoria dei numeri e le piattaforme di gara usano un calcolatore del piccolo teorema di Fermat affinché chi studia confermi a alla p meno uno modulo p senza implementare a mano l'esponenziazione modulare e senza confondere un composto bugiardo di Fermat con un primo.
Taccuini di ricerca e script ricreativi chiamano lo stesso contratto quando vogliono un oracolo indipendente per un esempio pubblicato: due alla sesta modulo sette deve essere uno, tre alla quarta modulo cinque deve essere uno, e un modulo composto come nove deve essere rifiutato anziché ridotto. I laboratori di crittografia che presentano i test di primalità di Fermat o gli inversi in un campo primo necessitano di uno strumento che rifiuti un modulo composto, perché il punto pedagogico è l'ipotesi del teorema, non una potenza modulare silenziosa che sembri plausibile.
La convalida fallita non consuma saldo. Tratti un errore di non primo come esito di primo piano nella Sua suite: è il contratto che impedisce a un bugiardo di Fermat di essere valutato come un successo.
Casi d'uso
Controlli in aula e nei compiti
Faccia inviare a chi studia una base e un primo dichiarato e verifichi che a^(p−1) mod p sia uno quando la coppia è coprima, oppure che un modulo composto venga rifiutato.
Laboratori di cripto e inversi in campo primo
Confermi a^(p−2) come inverso di a modulo il primo p verificando prima che a^(p−1) ≡ 1 (mod p) sulla stessa coppia, senza incorporare una routine di potenza modulare.
Domande frequenti
Che cosa restituisce questo calcolatore del piccolo teorema di Fermat?
Invii gli interi base (a) e prime (p).
Che succede se il modulo non è primo?
Il piccolo teorema di Fermat richiede un modulo primo; i valori composti non vengono ridotti e non vengono fatturati.
Quando il residuo è uguale a uno?
Ogni volta che p è primo e gcd(a, p) = 1. È l'enunciato classico del piccolo teorema di Fermat. Se p divide a, il residuo è zero.
Le basi negative sono accettate?
Sì. Una base negativa viene ridotta nell'intervallo 0..p−1 prima dell'esponenziazione, così il resto è il residuo non negativo consueto.
Che cosa succede se la base è un multiplo di p?
Il residuo è 0, perché ogni potenza positiva di un multiplo di p resta un multiplo di p. È l'unico caso in cui la condizione del teorema non vale, e il risultato indica che a e p non sono coprimi.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"base":2,"prime":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"base": 2,
"prime": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"base": 2,
"prime": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"base":2,"prime":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"base":2,"prime":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"base": 2,
"prime": 7
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.fermats_little_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs | 9007199254740991 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I moduli composti vengono rifiutati con invalid_input anziché un resto fuorviante, così gli script per i compiti non trattano mai un composto bugiardo di Fermat come un primo.
Cosa afferma il piccolo teorema di Fermat e cosa significa il residuo
Il calcolatore restituisce anche l'esponente p meno uno, un booleano che registra se a e p non condividono fattori comuni, un flag congruent_to_one vero esattamente quando il residuo è uno, e una breve stringa di congruenza che Lei può stampare accanto alla risposta. I moduli composti non vengono ridotti: l'operazione fallisce con invalid_input così un bugiardo di Fermat come trecentoquarantuno non si spaccia mai per primo.
Contratto di ingresso, algoritmo e comportamento di errore
I valori assoluti sono limitati dal tetto degli interi sicuri JavaScript così ogni prodotto modulare intermedio resta esatto sotto BigInt. Dopo l'analisi, il gestore verifica che p sia primo con divisione per tentativi sui valori modesti e un insieme deterministico di basi Miller–Rabin per gli interi sicuri più grandi. Se p è composto, uno, zero o negativo, la richiesta fallisce con un messaggio che nomina prime e afferma che il valore non è primo; quei fallimenti non vengono fatturati. Esempio: base due e primo sette produce residuo uno, perché due alla sesta è sessantaquattro e sessantaquattro meno nove volte sette è uno. Esempio: base dieci e primo cinque produce residuo zero, perché cinque divide dieci. Invii con POST un corpo JSON con due campi interi obbligatori: base, l'intero a della potenza, e prime, il modulo p che deve essere un primo almeno due. Sono accettati gli alias a per base e p, modulus o mod per prime, così i modelli di classe che già etichettano la coppia in quel modo non richiedono una riscrittura. Ciascun campo può arrivare come intero JSON o come stringa di cifre; booleani, stringhe vuote, frazioni e valori non finiti falliscono con invalid_input indicando il campo. In caso di successo il corpo riecheggia base e prime, riporta reduced_base uguale ad a modulo p da zero a p meno uno, riporta exponent uguale a p meno uno, e riporta residue uguale a reduced_base elevato a quell'esponente modulo p. I flag coprime e congruent_to_one consentono a un correttore di affermare l'enunciato classico senza ricalcolare la potenza. Affianchi la risposta alle proprie note se Le serve una dimostrazione scritta; questo endpoint restituisce il residuo e i flag, non una derivazione passo passo in prosa.
Dove un'API di residuo di Fermat merita il proprio posto
Poiché l'implementazione è parse pura di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita. Tenga le richieste entro i limiti interi pubblicati, fissi il residuo e il flag congruent_to_one nei test, e otterrà un residuo di Fermat riproducibile per i compiti, i plugin LMS e i worker perimetrali senza allestire un sistema di algebra computazionale proprio.
Casi di integrazione
Correzione automatica di esami e LMS
Valuti gli item del piccolo teorema di Fermat con un oracolo deterministico che fa fallire i moduli composti come invalid_input invece di restituire un resto che un correttore difettoso potrebbe trattare come successo.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore del piccolo teorema di Fermat?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo KIT prepagato a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene fatturato.