フェルマーの小定理計算機
2の6乗を7で割った余りは1で、フェルマーの小定理のとおりです。底aと素数pを入れると、aのp−1乗をpで割った余りが分かります。pが素数かを先に確かめるので、合成数が素数として通ることはありません。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 底
- 2
- 素数
- 7
- 簡約した底
- 2
- 指数
- 6
- 剰余
- 1
- 式
- 2^{6} ≡ 1 (mod 7)
フェルマーの小定理は、p が素数で a が p で割り切れない整数のとき、a の p 引く 1 乗が p を法として 1 に合同であるという数論の事実です。この恒等式はフェルマー素数判定、素体における逆元、巨大な冪を展開せずに縮小する競技問題の土台になります。本計算機は底 a と素数の法 p を受け取り、p が実際に素数であることを確かめたうえで、決定的な BigInt モジュラ冪により a の p 引く 1 乗を p で割った厳密な剰余を返します。a と p が互いに素なら剰余は 1 であり、それが定理です。p が a を割るときは剰余は 0 です。
フェルマーの小定理の主張と剰余の意味
フェルマーの小定理は、p が素数で a が p の倍数でない整数のとき、a の p 引く 1 乗が p を法として 1 に合同であると述べます。記号では a の p 引く 1 乗が 1 に合同 mod p です。p が a を割る場合にも成り立つ同値な形は、a の p 乗が a に合同 modulo p です。
本能力が評価するのは第一の形です。a の p 引く 1 乗を p で割った剰余を計算し、それを主結果として返します。a と p が互いに素なら剰余は常に 1 であり、それが定理です。
学習者が宿題に書く確認であり、a を p 引く 2 乗して a の法 p における逆元を得る恒等式でもあります。p が a を割るとき、p の倍数の正の冪はすべて再び p の倍数になるため、冪は法 p で 0 に潰れ、剰余は 0、coprime フラグは偽になります。合成数の法は還元しません。
負の底も受け付け、冪の前に 0 から p 引く 1 の範囲へ還元します。余りを非負に保ち、モジュラ算術の通常の授業慣習と一致します。
入力契約、算法、エラーの扱い
base は冪の整数 a、prime は 2 以上の素数であるべき法 p です。絶対値は JavaScript の安全整数上限で抑え、中間のモジュラ積が BigInt のもとで厳密に保たれます。解析の後、ハンドラは控えめな値では試し割り、より大きな安全整数では決定的な Miller–Rabin 基底集合で p が素数かを検査します。
p が合成数・1・0・負であれば、prime を名指しして素数ではないと述べるメッセージで要求は失敗し、それらの失敗は課金されません。例: 底 2 と素数 7 は剰余 1 になります。2 の 6 乗は 64 で、64 から 7 の 9 倍を引くと 1 だからです。
例: 底 10 と素数 5 は剰余 0 になります。5 が 10 を割るからです。書面の証明が必要ならご自身のノートと組み合わせてください。
この確認が役立つ場面
数論の授業やコンテスト向けプラットフォームは、手作業でモジュラ冪を実装せず、フェルマーの嘘つき合成数を素数と混同せずに a の p 引く 1 乗 modulo p を確認するため、フェルマーの小定理計算機を使います。研究ノートや趣味のスクリプトは、公表例の独立オラクルが欲しいときに同じ契約を呼び出します。
2 の 6 乗 modulo 7 は 1、3 の 4 乗 modulo 5 は 1、9 のような合成数の法は還元せず拒否しなければなりません。フェルマー素数判定や素体の逆元を紹介する暗号ワークショップには、合成数の法を拒む道具が必要です。教育上の要点は定理の仮説であり、それらしい黙ったモジュラ冪ではありません。
検証失敗は残高を消費しません。非素数エラーはスイートの第一級の結果として扱ってください。フェルマーの嘘つきが合格に採点されない契約です。
活用例
教室と宿題の確認
学習者に底と主張された素数を提出させ、組が互いに素なら a^(p−1) mod p が 1 であること、合成数の法なら拒否されることを確認させます。
暗号実験と素体の逆元
同じ組でまず a^(p−1) ≡ 1 (mod p) を確かめたうえで、モジュラ冪ルーチンを埋め込まずに a^(p−2) を素数 p を法とする a の逆元として確認します。
よくある質問
このフェルマーの小定理計算機は何を返しますか？
整数 base (a) と prime (p) を送ってください。
法が素数でない場合はどうなりますか？
フェルマーの小定理は素数の法を必要とし、合成数は還元されず課金もされません。
剰余が 1 になるのはいつですか？
p が素数で gcd(a, p) = 1 のときです。それがフェルマーの小定理の古典的主張です。p が a を割る場合、剰余は 0 です。
負の底は受け付けますか？
はい。 負の底は冪乗の前に 0 から p−1 の範囲へ還元されるため、余りは通常の非負剰余になります。
底がpの倍数のときはどうなりますか？
余りは0になります。pの倍数を何乗してもpの倍数のままだからです。定理の条件が成り立たない唯一の場合で、結果にはaとpが互いに素でないことも示されます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"base":2,"prime":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"base": 2,
"prime": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"base": 2,
"prime": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"base":2,"prime":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"base":2,"prime":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/fermats-little-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"base": 2,
"prime": 7
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.fermats_little_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_abs | 9007199254740991 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
合成数の法は紛らわしい余りではなく invalid_input で拒否されるため、宿題用スクリプトがフェルマーの嘘つき合成数を素数として扱うことはありません。
フェルマーの小定理の主張と剰余の意味
計算機はさらに指数 p 引く 1、a と p が共通因数を持たないかを記録する真偽値、剰余が 1 のときだけ真となる congruent_to_one フラグ、答えの横に印刷できる短い合同式文字列も返します。タスクは invalid_input で失敗し、341 のようなフェルマーの嘘つきが素数のふりをしないようにします。
入力契約、算法、エラーの扱い
必須の整数フィールドを二つ含む JSON 本体を POST してください。base の別名 a、prime の別名 p・modulus・mod を受け付けるため、すでにその組でラベル付けしている授業モデルを書き直す必要はありません。各フィールドは JSON 整数でも数字列でもよく、真偽値・空文字・分数・非有限値はフィールド名を示して invalid_input で失敗します。成功時の本体は base と prime をエコーし、0 から p 引く 1 の a を法 p とした reduced_base、p 引く 1 に等しい exponent、その指数による reduced_base の法 p の冪である residue を報告します。coprime と congruent_to_one のフラグにより、採点者は冪を再導出せずに古典的主張を確認できます。本エンドポイントが返すのは剰余とフラグであり、文章による逐次導出ではありません。
フェルマー剰余 API が役立つ場面
実装は純粋な parse の tier A のため、成功する呼び出しは公開された基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向き通信もありません。公開された整数範囲内に要求を収め、テストに剰余と congruent_to_one フラグを固定すれば、宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けに再現可能なフェルマー剰余が得られ、独自の数式処理系を立てる必要はありません。
連携の活用例
試験と LMS の自動採点
合成数の法を余りとして返さず invalid_input で失敗させる決定的オラクルで、フェルマーの小定理の設問を採点します。欠陥のある採点器が成功と誤認しません。
技術的な質問
フェルマーの小定理計算機の料金はいくらですか。
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高を $0.002 で使用し、無効な入力は課金されません。