Calcolatore area e perimetro astroide

Un astroide è la curva a stella con quattro cuspidi tracciata da un punto di un cerchio piccolo che rotola all'interno di un cerchio fisso quattro volte più grande — l'ipocicloide classica a quattro punte. Nella forma parametrica usuale x vale a cos al cubo di t e y vale a sin al cubo di t; l'unico parametro di raggio a fissa la distanza dal centro a ciascuna cuspide. Studenti, docenti e creatori di strumenti geometrici hanno spesso bisogno dell'area racchiusa e del perimetro totale di quella curva senza ridimostrare a mano integrali ellittiche.

Che cos'è un astroide e le formule chiuse di area e perimetro

L'astroide appartiene alla famiglia delle ipocicloidi: un cerchio di raggio a su quattro rotola all'interno di un cerchio fisso di raggio a, e un punto segnato sul cerchio mobile traccia una stella a rombo con quattro cuspidi acute sugli assi. Le equazioni parametriche standard sono x uguale a a volte il coseno al cubo del parametro t, e y uguale a a volte il seno al cubo di t, con t su un giro completo. Quella sola scala positiva a è il parametro di raggio che questo calcolatore accetta.

Integrando la curva parametrica su un periodo completo si ottengono due forme chiuse notevolmente semplici che ogni corso di calcolo o geometria analitica finisce per dimostrare: l'area racchiusa dall'astroide è tre ottavi di π per a al quadrato, e la lunghezza d'arco totale — il perimetro — è esattamente sei volte a. Quelle identità sono esatte nella geometria euclidea piana con il π abituale; non sono approssimazioni numeriche che dipendono dalla densità di campionamento o dalla mesh. Raggio zero è un punto degenere con area e perimetro nulli.

Un raggio negativo non ha significato come lunghezza geometrica, perciò questa capacità rifiuta l'ingresso negativo invece di ripiegarlo con valore assoluto, il che nasconderebbe errori di dati in pipeline valutate o automatizzate. Le unità di lunghezza sono quelle che Lei invia — metri, pollici, millimetri o unità di modello astratte — purché interpreti il perimetro in quella unità e l'area in quella unità al quadrato.

Poiché le formule sono prodotti elementari di costanti note, non vi è iterazione, seme casuale né dipendenza dall'orologio: non servono le coordinate delle cuspidi, un'equazione algebrica generale della curva né un sistema di algebra computazionale. Quando serve la circonferenza o l'area di un disco ordinario, usi uno strumento cerchio dedicato; quando serve l'area di un poligono stellato regolare dal numero di lati e dalla densità, usi un calcolatore di poligono stella.

Questa pagina è per chi già conosce il parametro di raggio dell'astroide e desidera area racchiusa e perimetro completo con un contratto riproducibile.

Consigli pratici, limiti e ricerche geometriche correlate

Preferisca il parametro di raggio nell'unità naturale del Suo disegno o modello così che il perimetro restituito non richieda post-conversione e l'area sia già in unità al quadrato di quella scala. I flussi didattici funzionano bene con esempi accoppiati: raggio uno per l'astroide a parametro unitario di perimetro sei e area tre ottavi di π; raggio due per raddoppiare il perimetro e quadruplicare l'area; e un raggio negativo per dimostrare il rifiuto rigido che protegge i correttori automatici da bug silenziosi di valore assoluto.

Questa pagina si rivolge a chi cerca un calcolatore di area e perimetro dell'astroide, l'area dell'ipocicloide a quattro cuspidi, o P uguale a sei a dal parametro di raggio; non è un risolutore generale di ipocicloidi per rapporti di rotolamento arbitrari, né uno strumento di area di poligono stella regolare, né un calcolatore di perimetro di cerchio o ellisse. Preferisca questo strumento quando conosce già la scala a dell'astroide e necessita di area racchiusa e perimetro completo.

Preferisca strumenti di circonferenza quando la curva è un cerchio completo, di ellisse quando serve un'approssimazione di perimetro in stile Ramanujan, e di poligono stella quando la figura è un poligono discreto {n/d} piuttosto che un'ipocicloide liscia. I controlli andata e ritorno sono semplici: dopo la risoluzione, confermi che il perimetro diviso per sei uguaglia il raggio di ingresso, e che l'area divisa per tre ottavi di π uguaglia il raggio al quadrato entro la tolleranza in virgola mobile.