ForHosting KIT · الرياضيات

إقليدس الموسّع: ق.م.أ ومعاملات بيزو x و y

للعددين 240 و46 قاسم مشترك أكبر يساوي 2، و240 × (−9) + 46 × 47 = 2. أدخل عددين صحيحين لتحصل على القاسم المشترك ومعاملي بيزو والمساواة التي تثبت ذلك. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

العدد الصحيح الأول: 240
العدد الصحيح الثاني: 46

تحصل على

ق.م.أ: 2
X: ‎-9
Y: 47
تحقق: 2

لا تقتصر خوارزمية إقليدس الموسّعة على الإبلاغ عن القاسم المشترك الأعظم لعددين صحيحين: فهي تنتج أيضًا معاملي بيزو x و y بحيث يساوي a مضروبًا في x زائد b مضروبًا في y ذلك القاسم. تظهر هذه المعاملات في المعكوسات المعيارية عندما يكون القاسم واحدًا، وفي البراهين البنائية للمعادلات الديوفانتية الخطية، وفي واجبات التشفير التي تحتاج تركيبة صريحة لا باقيًا عاريًا.

من البواقي إلى معاملات بيزو

تستبدل القسمة الإقليدية العادية الزوج (a, b) مرارًا بـ (b, a mod b) حتى يصبح الباقي صفرًا؛ آخر باقٍ غير صفري هو ق. م. أ(a, b). يتتبع الشكل الموسّع كيف يُكتب كل باقٍ كتركيبة خطية صحيحة من المدخلات الأصلية. في كل خطوة يساوي الباقي الحالي a مضروبًا في معامل زائد b مضروبًا في آخر، وعند توقف الخوارزمية تكون تلك المعاملات أرقام بيزو للقاسم.

غالبًا ما تستخدم العروض الصفية التعويض الخلفي من متتالية النواتج؛ أما كود الإنتاج فيحدّث زوجي معاملات تكراريًا دون تخزين كومة بواقي. كلا النهجين يحسبان نفس الكائن الرياضي: عددين صحيحين x و y يحققان a*x + b*y = ق. م. أ(a, b). ينفّذ هذا الطرف المسار التكراري على القيم المطلقة ثم يعيد العلامات كي تظل المدخلات السالبة محققة للهوية.

يُعاد القاسم دائمًا كعدد صحيح غير سالب، وفق العرف القياسي في المكتبات ونصوص المسابقات.

ما ترسله وما تستلمه

يُرفض أيضًا زوج الصفر والصفر لأن ق. م. أ(0, 0) غير معرّف ولا تنتج أي معاملات معادلة ذات معنى. عند النجاح تتضمن الاستجابة a و b المطبّعين والقاسم وx وy وكائن bezout متداخل بنفس المعاملات وتحققًا عدديًا يساوي a*x + b*y وسلسلة معادلة مثل 240*(-9) + 46*(47) = 2.

فحوصات نموذجية: لـ 240 و46 يكون القاسم 2 وحل صالح هو x يساوي سالب تسعة وy يساوي سبعة وأربعين؛ ولزوج أولي بقاسم واحد تعطي المعاملات معكوسًا معياريًا لـ a بمقاس b بعد اختزال x. الحالات الحدية بصفر وشريك غير صفري تعطي قاسمًا يساوي القيمة المطلقة للمدخل غير الصفري ونمط معاملات بسيطًا.

أين تظهر معاملات بيزو في العمل الفعلي

يحل مبرمجو المسابقات ax + by = c بحساب القاسم والمعاملات الأساسية أولًا ثم التوسيع والمعاملية للحل العام عندما يقسم القاسم c. يستعيد طلاب التشفير المعكوسات المعيارية لأمثلة RSA البسيطة والشفرات الأفينية عندما يكون ق. م. أ(a, m) واحدًا بقراءة معامل a بعد الاختزال بمقاس m.

يكلّف المعلمون ببراهين بنائية على أن عددين صحيحين أوليان نسبيًا ويحتاجون أوراكلًا حتميًا يُظهر التركيبة لا مجرد بتّة صح/خطأ. يحتاج مهندسو البيانات والأنظمة أحيانًا تركيبات خطية صريحة عند مواءمة جداول دورية أو حساب خطوات. استخدم أداة المتصفح لفحص الواجبات بسرعة ثم أتمتة نفس العقد عندما تحتاج خدمتكم فحوصات ديوفانتية بالجملة.

إن احتجتم فقط إلى القاسم بلا معاملات، ما زالت هذه الصفحة تلبي تلك الحاجة وتعلّم النتيجة البنائية الأقوى.

حالات الاستخدام

المعادلات الديوفانتية الخطية

احصل على حل خاص (x, y) لـ a*x + b*y = ق.م.أ ثم وسّع ومعامل عند حل a*x + b*y = c في المسابقات أو الواجبات.

لبنة بناء المعكوس المعياري

عندما يكون ق.م.أ(a, m) = 1، اختزل معامل بيزو لـ a بمقاس m لاستعادة معكوس معياري لتمارين التشفير ونظرية الأعداد.

الأسئلة الشائعة

ما خوارزمية إقليدس الموسّعة؟

تحسب ق. م. أ(a, b) وأعدادًا صحيحة x و y (معاملات بيزو) بحيث يساوي a*x + b*y ذلك القاسم، بتتبع التركيبات الخطية عبر خطوات الباقي الإقليدي.

هل المعاملات فريدة؟

لا. إذا عمل (x, y) فكذلك (x + k*(b/g), y − k*(a/g)) لأي عدد صحيح k. تعيد هذه الأداة حلًا خاصًا من الخوارزمية التكرارية.

ما نطاق الأعداد الصحيحة المدعوم؟

يجب أن يكون كل من a و b عددًا صحيحًا بقيمة مطلقة لا تتجاوز 9007199254740991 (Number.MAX_SAFE_INTEGER).

كيف أجد معاملي بيزو للعددين 240 و46؟

أدخل العددين. القاسم المشترك الأكبر هو 2 والمعاملان −9 و47، لأن 240 × (−9) + 46 × 47 = 2. وتتضمن النتيجة هذه المساواة لتتحقق منها.

كيف أحصل على المعكوس القياسي من النتيجة؟

عندما يكون القاسم المشترك الأكبر 1، فإن معامل العدد الأول بعد اختزاله بترديد العدد الثاني هو معكوس العدد الأول بترديد الثاني. وهي الطريقة المعتادة في أمثلة RSA والتشفير التآلفي.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":240,"b":46}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 240,
    "b": 46
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 240,
    "b": 46
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":240,"b":46}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":240,"b":46}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/extended-euclidean", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 240,
  "b": 46
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.extended_euclidean",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_abs 9007199254740991

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تأخذ هذه القدرة عددين صحيحين، وترفض الحالة غير المعرّفة عندما يكون كلاهما صفرًا، وتعيد JSON مستقرًا يحوي القاسم وx وy وتحققًا وسلسلة معادلة مقروءة يمكن لصقها في الملاحظات أو الاختبارات.

ما ترسله وما تستلمه

قدّم العددين الصحيحين a و b (تُقبل الأسماء البديلة first أو m لـ a، وsecond أو n لـ b). تُرفض غير الصحيحة والحقول الفارغة والقيم خارج الحد الأقصى المطلق للأعداد الصحيحة الآمنة للمنصة بـ invalid_input ولا تُحصَّل. تعمل نفس الدالة النقية مجانًا في ودجة المتصفح وعبر API، فتبقى الاستكشاف التفاعلي والدفعات المكتوبة متسقة دون انحراف صامت بين القنوات.

أين تظهر معاملات بيزو في العمل الفعلي

ولأن القدرة محرك parse خالص، لا يوجد انحراف نموذج ولا تبعية شبكة ولا حالة مخزّنة: نفس الزوج ينتج دائمًا نفس JSON لاتفاقية معاملات ثابتة. تسعير API هو القاعدة المنشورة $0.002 لكل عنصر ناجح؛ فشل التحقق لا يستهلك الرصيد.

حالات التكامل

التدريس والفحوصات الآلية

أظهر للطلاب الهوية a*x + b*y = ق.م.أ بحقل معادلة JSON مستقر، واربط نفس العقد بمصححات أو مثبتات CI.

أسئلة تقنية

لماذا يُرفض a و b كلاهما صفر؟

ق.م.أ(0, 0) غير معرّف. لا يوجد قاسم مشترك أعظم موجب، لذا تعيد API القيمة invalid_input ولا تُحصّل.

كم التكلفة؟

أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم طلبات API رصيد KIT مسبق الدفع بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ المدخل غير الصالح لا يُحصَّل.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

من البواقي إلى معاملات بيزو

ما ترسله وما تستلمه

أين تظهر معاملات بيزو في العمل الفعلي

حالات الاستخدام

المعادلات الديوفانتية الخطية

لبنة بناء المعكوس المعياري

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما ترسله وما تستلمه

أين تظهر معاملات بيزو في العمل الفعلي

حالات التكامل

التدريس والفحوصات الآلية

أسئلة تقنية

شكرًا