فاحص شبه أولي أويلر-جاكوبي
العدد 561 شبه أولي لأويلر–جاكوبي بالأساس 2: القوة ذات الأس 280 تترك الباقي 1، مطابقًا لرمز جاكوبي، مع أن 561 عدد مركب. أدخل عددًا مركبًا فرديًا وأساسًا لترى كل قيمة وراء الحكم. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 561
- A
- 2
- Gcd
- 1
- رمز جاكوبي
- 1
- الأس
- 280
- الباقي
- 1
شبه الأولي لأويلر–جاكوبي بالنسبة إلى أساس معطى هو عدد صحيح مركّب فردي يطيع معيار أويلر كما لو كان أوليًا. للأساس a الأولي مع n يعني ذلك أن a مرفوعًا إلى (n ناقص واحد) على اثنين يطابق رمز جاكوبي ل a على n، بمعامل n. كل أولي فردي لا يقسم a يحقق المطابقة نفسها، ولذلك فإن المركّبات التي ما زالت تمرّ هي الإخفاقات المهمة لاختبار على أسلوب Solovay–Strassen. بُني هذا الفاحص لهذا السؤال حصرًا: بإعطاء n مركّب فردي والأساس a، يقرّر إن كان n شبه أولي لأويلر–جاكوبي لذلك الأساس. تُبلّغ الاستجابة عن gcd ورمز جاكوبي والقوة المعيارية وما إذا صمدت المطابقة، وعن قيمة منطقية لا تكون صحيحة إلا عند استيفاء التعريف كاملًا.
ما شبه الأولي لأويلر–جاكوبي وكيف يختلف عن اختباري فيرما وأويلر
يقول معيار أويلر إنه إذا كان p أوليًا فرديًا ولم يكن a قابلًا للقسمة على p، فإن a مرفوعًا إلى (p ناقص واحد) على اثنين يطابق رمز ليجاندر ل a على p، بمعامل p. يوسّع رمز جاكوبي (a/n) ذلك الطابع التربيعي من الأعداد الأولية الفردية إلى أي عدد صحيح موجب فردي n، فيغري كتابة المطابقة نفسها مع n بدل p. عندما يكون n أوليًا فرديًا يتفق الرمزان وتكون المطابقة مبرهنة.
وعندما يكون n فرديًا ومركّبًا قد تظل المطابقة قائمة لبعض الأسس رغم أن n ليس أوليًا. تُسمّى تلك الأعداد أشباه أولية لأويلر–جاكوبي بالأساس a، بشرط أن يساوي gcd(a, n) واحدًا. الشرط أقوى حزمًا من اختبار فيرما (a إلى n ناقص واحد مطابق لواحد بمعامل n) وأقوى كذلك من اختبار أويلر الضعيف الذي يطلب فقط أن تكون القوة المعيارية زائد واحد أو ناقص واحد.
المثال الكلاسيكي هو ثلاثمائة وواحد وأربعون بالأساس اثنين: هو شبه أولي لفيرما، واثنان إلى مائة وسبعين يساوي واحدًا بمعامل ثلاثمائة وواحد وأربعين، لكن رمز جاكوبي (2/341) يساوي ناقص واحد، فتفشل مطابقة أويلر–جاكوبي. خمسمئة وواحد وستون، أصغر عدد لكارمايكل، يحقق المطابقة بالأساس اثنين فهو إذن شبه أولي لأويلر–جاكوبي لذلك الأساس. واحد وتسعون بالأساس عشرة مثال صفّي آخر يؤكده هذا الفاحص.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الخطأ
إذا كان n أصغر من تسعة أو زوجيًا أو أوليًا يرفض المعالج الطلب: أشباه أويلر–جاكوبي الأولية مركّبات فردية بالتعريف، ومعاملة أولي على أنه شبه أولي فاشل تعلّم الدرس الخطأ. لا تُفوتر إخفاقات التحقق تلك. تعيد سلسلة criterion صياغة a^((n-1)/2) ≡ (a/n) (mod n) حتى تعرض صفحة أو دفتر التعريف بجانب الحكم.
عندما يكون gcd أكبر من واحد تكون جاكوبي صفرًا ولا يكون الزوج زوج أويلر–جاكوبي حتى لو اختفت قوة عارضة. مثال: n يساوي خمسمئة وواحدًا وستين وa يساوي اثنين يعطي jacobi واحدًا وremainder واحدًا وعلامة صحيحة؛ وn يساوي ثلاثمائة وواحدًا وأربعين وa يساوي اثنين يعطي jacobi ناقص واحد وremainder واحدًا وعلامة خاطئة. الحساب كله BigInt دقيق؛ لا يوجد فاصلة عائمة ولا شاهد عشوائي.
أين يثبت فاحص أشباه أويلر–جاكوبي الأولية جدواه
تستخدم مقررات نظرية الأعداد ومنصات المسابقات فاحص أشباه أويلر–جاكوبي الأولية حتى يميّز المتعلمون كاذبي فيرما عن كاذبي Solovay–Strassen دون تنفيذ تبادلية جاكوبي والرفع المعياري يدويًا. تستدعي دفاتر البحث والمسوحات الترفيهية العقد نفسه عندما تريد وسيطًا مستقلًا لقائمة منشورة: يجب أن تعيد خمسمئة وواحد وستون وألف ومئة وخمسة وألف وسبعمئة وتسعة وعشرون وسائر أمثلة الأساس اثنين الكلاسيكية قيمة صحيحة، بينما يجب أن يعيد ثلاثمائة وواحد وأربعون بالأساس اثنين قيمة خاطئة.
تحتاج ورش التعمية التي تقدّم اختبار أولية Solovay–Strassen إلى أداة ترفض n الأولي، لأن المقصد التعليمي هو المركّب الذي يحاكي معيار أويلر لا إعادة القول إن الأعداد الأولية تمر. تستطيع فرق الهندسة التي تكتب اختبارات خصائص لمكتبات جاكوبي أو القوة المعيارية الخاصة بها تثبيت هذه الاستجابة مرجعًا. فضّلوا هذه الأداة عندما يكون السؤال حصرًا ما إذا كان مركّب فردي معطى يحقق مطابقة أويلر–جاكوبي لأساس معطى — لا عندما تحتاجون بحثًا على كل الأسس أو اختبار فيرما وحده أو تقرير شهود Miller–Rabin أو شهادات لأعداد صحيحة بآلاف البتات.
حالات الاستخدام
فحوصات صفّية لكاذبي Solovay–Strassen
دعوا الطلاب يرسلون n يساوي 561 بالأساس 2 ويؤكّدون علامة أويلر–جاكوبي صحيحة، ثم قارنوا مع 341 بالأساس 2 وهو كاذب فيرما فحسب.
وسيط مستقل للجداول المنشورة
تحققوا من قوائم غير متصلة لأشباه أويلر–جاكوبي الأولية مقابل تنفيذ حتمي لجاكوبي مع القوة المعيارية.
اختبارات خصائص لمكتبات نظرية الأعداد
ثبّتوا gcd ورمز جاكوبي وremainder والقيمة المنطقية في اختبارات الوحدة حتى لا تحيد روتين تبادلية محلي عن التعريف.
الأسئلة الشائعة
ما الذي يجعل n شبه أولي لأويلر–جاكوبي بالأساس a؟
يجب أن يكون n فرديًا ومركّبًا، وأن يساوي gcd(a, n) القيمة 1، وأن يطابق a^((n−1)/2) رمز جاكوبي (a/n) بمعامل n.
لماذا يُرفض n الزوجي وn الأولي؟
تُعرَّف أشباه أويلر–جاكوبي الأولية بأنها مركّبات فردية تحاكي معيار أويلر.
بماذا يختلف هذا عن شبه أولي لفيرما؟
يحتاج شبه أولي لفيرما بالأساس a إلى a^{n−1} ≡ 1 (mod n) فحسب. يطلب اختبار أويلر–جاكوبي أيضًا أن يطابق الجذر التربيعي المعياري لشرط فيرما رمز جاكوبي. 341 كاذب فيرما بالأساس 2 لكنه ليس شبه أولي لأويلر–جاكوبي بالأساس 2.
هل 561 شبه أولي لأويلر–جاكوبي بالأساس 2؟
نعم. رفع 2 إلى القوة 280 وقسمته على 561 يترك الباقي 1، ورمز جاكوبي للعدد 2 على 561 يساوي 1 أيضًا، فتتحقق المطابقة رغم أن 561 مركب. وهو أصغر أعداد كارمايكل.
ماذا لو اشترك الأساس والعدد في عامل؟
عندها لا يكون العدد شبه أولي لأويلر–جاكوبي بهذا الأساس، لأن التعريف يشترط أن يكونا أوليين نسبيًا. يكون الجواب لا، ويُعرض القاسم المشترك لترى السبب.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-pseudoprime-check \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":561,"a":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-pseudoprime-check", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 561,
"a": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-pseudoprime-check",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 561,
"a": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-pseudoprime-check", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":561,"a":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":561,"a":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-pseudoprime-check", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 561,
"a": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.euler_pseudoprime_check",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 9007199254740991 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
يُرفض n الزوجي أو الأولي ب invalid_input بدل سالب كاذب مضلّل، لأن التعريف لا ينطبق إلا على المركّبات الفردية. تعمل الوحدة الحتمية نفسها مجانًا في المتصفح وعلى مسار API بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح.
ما شبه الأولي لأويلر–جاكوبي وكيف يختلف عن اختباري فيرما وأويلر
لا تسمّي القدرة مركّبًا أوليًا ولا أوليًا شبه أولي: المدخلات الأولية أو الزوجية أخطاء، ولا تكون القيمة المنطقية is_euler_jacobi_pseudoprime صحيحة إلا عندما يكون n مركّبًا فرديًا مقبولًا والزوج أوليين فيما بينهما وتتحقق مطابقة جاكوبي كاملة.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الخطأ
أرسلوا جسم JSON عبر POST يحوي عددين صحيحين إلزاميين: n المرشح المركّب الفردي (والاسمان البديلان modulus وnumber)، وa الأساس (والاسم البديل base). قد يصل كل حقل كرقم JSON أو كسلسلة أرقام عشرية؛ ويجب أن تكون القيم أعدادًا صحيحة كاملة تبقى قيمتها المطلقة ضمن نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة في JavaScript، حتى تُحسم أولية n بمجموعة شهود Miller–Rabin ثابتة حتمية على ذلك الحد. تفشل الحقول الناقصة والكسور والقيم المنطقية والسلاسل الفارغة والقيم المفرطة ب invalid_input مع تسمية الحقل. عند النجاح يعيد الجسم n وa كرقمين، ويبلّغ عن gcd والقيمة المنطقية coprime، ويعيد jacobi في المجموعة ناقص واحد أو صفر أو واحد، ويعطي exponent على أنه (n ناقص واحد) على اثنين وremainder على أنه a إلى ذلك الأس بمعامل n، ويضع congruence_holds عندما يطابق remainder رمز جاكوبي المختزل إلى نظام البواقي بمعامل n، ويضع is_euler_jacobi_pseudoprime فقط عندما يكون الزوج أوليين فيما بينهما وتصمد المطابقة.
أين يثبت فاحص أشباه أويلر–جاكوبي الأولية جدواه
ولأن القدرة parse نقية من المستوى A، فكل استدعاء ناجح حتمي وخارج الشبكة ومسعّر ب $0.002 بلا رموز نموذج. أبقوا n فرديًا ومركّبًا، وعاملوا invalid_input تصحيحًا من جهة العميل، وثبّتوا remainder وjacobi في الاختبارات حتى لا يغيّر إعادة بناء لاحق النتيجة المعيارية في صمت.
أسئلة تقنية
ماذا لو كان gcd(a, n) أكبر من واحد؟
الزوج ليس زوج أويلر–جاكوبي. ما زالت الاستجابة تعيد gcd وjacobi 0 والباقي المعياري، لكن is_euler_jacobi_pseudoprime خاطئ لأن التعريف يشترط الأولية المتبادلة.
كم يكلف فاحص أشباه أويلر–جاكوبي الأولية؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُفوتر المدخلات غير الصالحة.