Newton-Raphson-Rechner für einen Einzelschritt
Ein Newton-Raphson-Schritt, vollständig gezeigt: Für x² − 2 ab 1,5 ist der Funktionswert 0,25, die Ableitung 3, die Korrektur 0,0833333333 und die nächste Schätzung 1,4166666667. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Funktion
- x^2 - 2
- Ableitung
- 2*x
- Aktuelles x
- 1,5
- Genauigkeit
- 10
- Funktionswert
- 0,25
- Wert der Ableitung
- 3
- Korrektur
- 0,0833333333
- Nächstes X
- 1,4166666667
Dieser Rechner führt genau einen Newton-Raphson-Schritt ausgehend von einer aktuellen Näherung aus. Es gibt außerdem jede Zwischenzahl zurück. So können Sie eine Übung prüfen, einen numerischen Ablauf dokumentieren oder eine Iteration untersuchen, bevor Sie über eine Fortsetzung entscheiden.
Geben Sie Funktion, Ableitung und aktuelle Näherung ein
Schreiben Sie die Funktion, deren Nullstelle Sie annähern möchten, und getrennt davon einen Ausdruck für ihre Ableitung. Beide verwenden x als Variable. Zulässig sind Rechenoperatoren, Klammern, Potenzen, die Konstanten pi und e sowie gängige Funktionen wie sin, cos, tan, exp, log, sqrt und abs.
Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*x und nicht als 2x. Beim klassischen Beispiel f(x) = x^2 - 2 geben Sie x^2 - 2 als Funktion und 2*x als Ableitung ein. Eine zweckmäßige Startnäherung liegt meist nahe bei der Nullstelle und in einem Bereich, in dem die Ableitung existiert und nicht null ist.
Präfixe wie f(x) = und f'(x) = werden angenommen; reine Ausdrücke sind in Skripten jedoch übersichtlicher. Werte gelten als dimensionslose Zahlen. Verwenden Sie bei physikalischen Größen deshalb durchgehend konsistente Einheiten.
Der Parser akzeptiert ausschließlich mathematische Syntax und führt keinen Programmcode aus. Die Ausdruckslänge ist begrenzt, und sämtliche Eingaben und Ergebnisse müssen endlich sein. Dadurch bleiben gespeicherte Berechnungen reproduzierbar, und eine undefinierte Operation kann nicht als scheinbarer Erfolg verborgen werden.
Deuten Sie die nächste Näherung und bestimmen Sie das weitere Vorgehen
Die nächste Näherung ist ein numerischer Vorschlag und kein Beweis dafür, dass eine Nullstelle existiert oder Konvergenz eintritt. Newton-Raphson konvergiert häufig schnell, wenn der Start nahe genug an einer einfachen Nullstelle liegt und die Funktion dort glatt ist. Ein einzelner Schritt kann diese Voraussetzungen jedoch nicht bestätigen.
Prüfen Sie die Größe des Funktionswerts und der Korrektur. Eine große Korrektur zeigt, dass die Tangente die Achse weit vom aktuellen Punkt entfernt schneidet. Wiederholte Schritte können divergieren, schwingen, den Definitionsbereich verlassen oder zu einer anderen Nullstelle gelangen.
Mehrfache Nullstellen verlangsamen zudem die übliche Konvergenz. Legen Sie für zuverlässige Arbeit Grenzwerte für Korrektur und Residuum sowie eine maximale Iterationszahl fest und vergleichen Sie, falls ein Intervall bekannt ist, mit einem Einschlussverfahren. Damit können Sie symbolisches Ableiten kontrollieren, das Tangentenprinzip erklären oder einen deterministischen Schritt in einen größeren Löser einbauen.
Anwendungsfälle
Eine Übungsiteration prüfen
Vergleichen Sie Ihre Handrechnung mit dem ausgegebenen Funktionswert, der Ableitung, der Korrektur und der nächsten Näherung.
Einen schwierigen Startpunkt untersuchen
Führen Sie einen kontrollierten Schritt aus, um die Tangentenkorrektur vor weiteren Iterationen zu beurteilen.
Einen überwachten Löser aufbauen
Fordern Sie jeweils einen deterministischen Schritt an, während ein anderer Ablauf Toleranz, Protokoll und Iterationsgrenze verwaltet.
Häufige Fragen
Warum muss ich die Ableitung angeben?
Eine ausdrückliche Ableitung vermeidet verborgene Entscheidungen zu numerischen Differenzen und macht die Rechnung prüfbar.
Was geschieht bei einer Ableitung von null?
Die Anfrage liefert einen Eingabefehler, weil eine Division durch null keine gültige Newton-Raphson-Korrektur ergeben kann.
Welche Ausdruckssyntax wird unterstützt?
Verwenden Sie x, Zahlen, ausdrückliche Rechenoperationen, Klammern, Potenzen, pi, e und übliche einstellige Funktionen einschließlich Trigonometrie, Exponentialfunktion, Logarithmus, Quadratwurzel und Betrag.
Garantiert eine kleine Korrektur die Konvergenz?
Nein. Prüfen Sie das Residuum an der nächsten Näherung und verwenden Sie Abbruchregel, Iterationsgrenze und Fachwissen zum Definitionsbereich.
Wie sieht ein Newton-Raphson-Schritt für x² − 2 ab 1,5 aus?
Die nächste Schätzung ist 1,4166666667. Der Funktionswert bei 1,5 ist 0,25, die Ableitung 2x ergibt 3, also beträgt die Korrektur 0,25 durch 3, etwa 0,0833333333, die von 1,5 abgezogen wird.
Was passiert, wenn die Ableitung null ist?
Dann bricht der Rechner mit einem Eingabefehler ab, statt eine unendliche oder irreführende Schätzung auszugeben. Eine Ableitung von null bedeutet eine waagerechte Tangente, die die Achse nie schneidet; wählen Sie einen anderen Startwert.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"function": "x^2 - 2",
"derivative": "2*x",
"x_current": 1.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"function": "x^2 - 2",
"derivative": "2*x",
"x_current": 1.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"function": "x^2 - 2",
"derivative": "2*x",
"x_current": 1.5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.newton_raphson_single_step",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie eine Funktion f(x), ihre Ableitung f'(x) und den gegenwärtigen Wert x_n ein. Das Werkzeug wertet beide Ausdrücke an dieser Stelle aus, teilt den Funktionswert durch die Ableitung und zieht die erhaltene Korrektur ab, um x_(n+1) zu bilden.
Geben Sie Funktion, Ableitung und aktuelle Näherung ein
Danach legen Sie mit x_current die Näherung fest, an der dieser Schritt beginnt.
Verfolgen Sie den einzelnen Newton-Raphson-Schritt
Newton-Raphson nutzt die Tangente an der aktuellen Näherung, um ihren Schnittpunkt mit der x-Achse vorherzusagen. Die Ausgabe zeigt aktuelle Näherung, Funktionswert, Ableitungswert, Korrektur und nächste Näherung, sodass Sie jede Rechenoperation kontrollieren können. Der Quotient ist ungefähr 0.0833333333; nach dem Abziehen ergibt sich etwa 1.4166666667. Auswertung und Subtraktion verwenden zuvor die Gleitkommagenauigkeit. Ist die Ableitung null oder ein Ausdruck an der aktuellen Stelle undefiniert, endet die Anfrage mit einem Eingabefehler statt mit einem unendlichen oder irreführenden Ergebnis. Zunächst wertet der Rechner f(x_current) und f'(x_current) aus. Dann bildet er die Korrektur f(x_current) / f'(x_current) und wendet x_next = x_current - correction an. Für x^2 - 2 bei x_current = 1.5 beträgt der Funktionswert 0.25 und die Ableitung 3. Es findet nur eine Aktualisierung statt: x_next wird nicht automatisch erneut eingesetzt. Diese bewusste Grenze eignet sich für Unterricht, Arbeitsblätter und Abläufe, in denen ein anderes System über das Ende entscheidet. Die Genauigkeitsoption verändert lediglich die im JSON dargestellten Nachkommastellen.
Deuten Sie die nächste Näherung und bestimmen Sie das weitere Vorgehen
Eine kleine Korrektur kann auf Stabilisierung hindeuten, aber auch durch eine sehr große Ableitung entstehen; werten Sie daher später f(x_next) aus, bevor Sie das Ergebnis akzeptieren. Dieser Rechner nähert die Ableitung nicht numerisch an: Der ausdrückliche, prüfbare Ableitungsausdruck wird am selben x_current ausgewertet. Die API kostet $0.002 je Anfrage; die Browserversion führt dieselbe reine Berechnung lokal aus.
Technische Fragen
Was kostet eine API-Anfrage?
Der API-Preis beträgt $0.002 je Anfrage. Der Browserrechner führt dieselbe reine Berechnung kostenlos und lokal aus.
Bestimmt dieser Rechner die Nullstelle vollständig?
Nein. Er führt genau einen Newton-Raphson-Schritt aus. Verwenden Sie x_next nur dann als neues x_current, wenn Ihre Konvergenzregel eine Fortsetzung verlangt.