Äquatorüberquerung eines Großkreises mit Länge und Kurs

Dieser Rechner bestimmt, wo eine gerichtete sphärische Großkreisroute erstmals den Breitengrad null erreicht. Geben Sie Startbreite, Startlänge und Anfangskurs ein; ausgegeben werden Länge und Kurs an der Überquerung, zurückgelegter Winkelabstand sowie die Richtung nach Norden oder Süden. Die Berechnung folgt dem vollständigen Großkreis und keiner Loxodrome oder abgetasteten Polylinie. Sie eignet sich für Navigationsplanung, Tests geografischer Software, Routendarstellungen und Unterricht, wenn ein nachvollziehbares sphärisches Ergebnis benötigt wird.

Legen Sie die gerichtete Großkreisbahn fest

Geben Sie Startbreite und Startlänge in Dezimalgrad sowie den im Uhrzeigersinn von geografisch Nord gemessenen Anfangskurs ein. Die Breite muss zwischen minus 90 und 90 Grad, die Länge zwischen minus 180 und 180 Grad liegen. Jeder endliche Kurswert ist zulässig und wird auf den Bereich von null bis unter 360 Grad normalisiert.

Der Kurs ist erforderlich, weil durch einen einzelnen Punkt unendlich viele Großkreise verlaufen; erst Punkt und Richtung bestimmen einen Kreis und seine Vorwärtsrichtung. Das Ergebnis bezeichnet die erste beim Vorwärtslaufen erreichte Äquatorüberquerung und nicht eine beliebige der beiden antipodischen Schnittstellen. Liegt der Start bereits am Äquator und verlässt die Bahn ihn, gilt der Startpunkt bei einem Winkelabstand von null als Überquerung.

Eine genau nach Osten oder Westen am Äquator beginnende Bahn fällt dagegen vollständig mit dem Äquator zusammen. Dann gibt es keine eindeutige Überquerungslänge, und die Eingabe wird abgewiesen.

So werden Schnittpunkt und Kurs berechnet

Die Implementierung stellt den Startort als dreidimensionalen Einheitsvektor dar. Sie bildet dort lokale Tangenten nach Norden und Osten und kombiniert diese anhand des eingegebenen Kurses zur Vorwärtstangente. Die Position nach einem sphärischen Winkelabstand lässt sich als Startvektor mal Kosinus dieses Abstands plus Tangente mal Sinus ausdrücken.

Wird die vertikale Komponente null gesetzt, ergibt sich unmittelbar der nächste Äquatorschnitt. Die Lösung wird auf den ersten nicht negativen Abstand unter 180 Grad gebracht, sodass ohne Abtasten der Route zuverlässig der vorwärts liegende Schnittpunkt gewählt wird. Am Schnittpunkt liefert die Ableitung desselben Ausdrucks die Bewegungsrichtung.

Ihre Projektion auf lokales Nord und Ost ergibt mithilfe einer zweistelligen Arkustangensfunktion den Überquerungskurs. Das Vorzeichen der Nordkomponente kennzeichnet außerdem eine nordwärts oder südwärts gerichtete Überquerung.

Ordnen Sie das sphärische Ergebnis richtig ein

Die ausgegebene Länge und der Kurs beschreiben einen idealen Großkreis auf einer Kugel. Dieses Modell ist für sphärische Trigonometrie, konzeptionelle Routenplanung, viele Kartendarstellungen und deterministische Prüffälle geeignet. Es handelt sich nicht um eine ellipsoidische Geodäte auf WGS 84.

Die Erdabplattung kann eine Überquerung verschieben, wenn betriebliche Genauigkeit gefordert ist. Luftfahrt, Seefahrt, Vermessung und sicherheitskritische Systeme müssen daher das in ihren Verfahren vorgeschriebene Referenzmodell samt Toleranzen verwenden. Der Winkelabstand wird in Grad am Erdmittelpunkt angegeben; wandeln Sie ihn in Radiant um und multiplizieren Sie ihn mit einem gewählten Kugelradius, wenn Sie eine angenäherte Oberflächenentfernung benötigen.

Der Überquerungskurs ist der momentane Vorwärtskurs bei Breite null und keine Wiederholung des Anfangskurses. Das Richtungsfeld macht den Hemisphärenwechsel eindeutig.