Größter gemeinsamer Teiler berechnen (ggT) – Online & API
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 462 ist 21, gefunden in drei Schritten des euklidischen Verfahrens, ganz ohne Zerlegung in Faktoren. Geben Sie zwei ganze Zahlen ein, auch negative oder eine Null, und kürzen Sie damit etwa 462/1071 zu 22/51. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 1.071
- B
- 462
- Gcd
- 21
Vorzeichen werden ignoriert, eine einzelne Null wird nach der Regel gcd(n, 0) = |n| behandelt, und der einzige abgelehnte Fall ist das mathematisch undefinierte gcd(0, 0). Es ist ein kleines, exaktes Werkzeug: Derselbe deterministische Code läuft kostenlos in Ihrem Browser und hinter dem kostenpflichtigen Endpunkt, sodass die Zahl, die Sie beim Testen sehen, genau die ist, die Ihre Pipeline in der Produktion erhält.
Was der größte gemeinsame Teiler eigentlich ist
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen ist die größte positive ganze Zahl, die beide exakt teilt. Für 1071 und 462 ist das 21, denn 1071 = 21 × 51 und 462 = 21 × 22, und keine größere ganze Zahl teilt beide. Ergibt sich 1, heißen die beiden Zahlen teilerfremd: Sie haben keinen gemeinsamen Faktor.
Das Konzept ist uralt – es steht im Zentrum von Euklids Elementen – und es ist noch immer der schnellste Weg, sehr praktische Fragen zu beantworten: einen Bruch vollständig zu kürzen, zu prüfen, ob sich zwei periodische Prozesse je treffen, oder ein Verhältnis vor der Anzeige zu vereinfachen. Dieser Endpunkt nimmt die beiden ganzen Zahlen als Felder a und b entgegen, akzeptiert beide Vorzeichen und gibt ein Objekt mit dem positiven Teiler zurück. Er nähert nie an und rundet nie: Ganzzahl hinein, exakte Ganzzahl heraus.
Wie der euklidische Algorithmus ihn berechnet
Die Implementierung ist Euklids Variante ohne Subtraktion: Ersetzen Sie wiederholt die größere Zahl durch den Rest der Division der größeren durch die kleinere, bis der Rest null ist; der letzte von null verschiedene Rest ist das Ergebnis. Für 1071 und 462 ergibt das 1071 mod 462 = 147, dann 462 mod 147 = 21, dann 147 mod 21 = 0, also ist das Ergebnis 21.
Die Schleife läuft in O(log min(a, b)) Iterationen, sodass selbst Zahlen nahe der Safe-Integer-Grenze in wenigen Schritten fertig sind – ganz ohne Faktorisierung und ohne Gleitkommazahlen. Vorzeichen werden zuerst entfernt, weil die Teilbarkeit nicht von ihnen abhängt, daher ist gcd(-12, 18) = 6.
Wo er in der Praxis eingesetzt wird
Das Kürzen von Brüchen ist der klassische Anwendungsfall: Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT, und der Bruch liegt vollständig gekürzt vor – genau das, was Abrechnungssysteme, Rezeptskalierer und Verhältnisanzeigen brauchen, bevor sie eine Zahl präsentieren. Er bildet auch die Grundlage für Teilerfremdheitsprüfungen – ein ggT von 1 ist der Test – sowie für den chinesischen Restsatz und die modulare Inversion in der Kryptografie, wo der ggT der erste Schritt des erweiterten euklidischen Algorithmus ist.
Die Capability läuft auf unserem Edge, ohne dass etwas gespeichert wird: Die beiden ganzen Zahlen kommen an, der Teiler geht hinaus, und von Ihren Zahlen bleibt kein Datensatz zurück.
Anwendungsfälle
Brüche vollständig kürzen
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT, bevor Sie ein Verhältnis speichern oder anzeigen – so wird aus 462/1071 der Bruch 22/51.
Teilerfremdheit zweier Zahlen prüfen
Ein Ergebnis von 1 bedeutet, dass das Paar keinen gemeinsamen Faktor hat – die Voraussetzung für viele Verfahren in Scheduling, Hashing und Kryptografie.
Periodische Prozesse synchronisieren
Zusammen mit dem kgV zeigt der ggT, wann sich zwei Zyklen unterschiedlicher Länge treffen und wie man Arbeit in gleich große Stapel aufteilt.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Auf dieser Seite läuft es außerdem kostenlos in Ihrem Browser – mit exakt demselben Code.
Dürfen die Eingaben negativ sein?
Ja. Vorzeichen werden ignoriert, weil die Teilbarkeit nicht von ihnen abhängt: gcd(-12, 18) ergibt 6, immer als positive ganze Zahl.
Was passiert bei null?
gcd(n, 0) liefert |n| für jedes n ungleich null.
Wie groß dürfen die ganzen Zahlen sein?
Jede sichere Ganzzahl im JavaScript-Sinn, dem Betrag nach bis zu 2^53 − 1. Werte außerhalb dieses Bereichs werden abgelehnt statt ungenau berechnet.
Welcher Algorithmus wird verwendet?
Der euklidische Algorithmus: wiederholte Restschritte, bis der Rest null ist. Er läuft in O(log min(a, b)) Iterationen, ohne Faktorisierung und ohne Gleitkommazahlen.
Was bedeutet es, wenn der ggT 1 ist?
Dann sind die beiden Zahlen teilerfremd und haben außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler. Ein Bruch aus solchen Zahlen ist bereits vollständig gekürzt, und viele Verfahren der Terminplanung und Verschlüsselung setzen genau diese Eigenschaft voraus.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/gcd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1071,"b":462}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/gcd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1071,
"b": 462
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/gcd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1071,
"b": 462
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/gcd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1071,"b":462}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1071,"b":462}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/gcd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 1071,
"b": 462
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.gcd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API für den größten gemeinsamen Teiler nimmt zwei ganze Zahlen entgegen und liefert die größte positive ganze Zahl, die beide ohne Rest teilt – berechnet mit dem klassischen euklidischen Algorithmus.
Wie der euklidische Algorithmus ihn berechnet
Die Sonderfälle folgen der üblichen Konvention: gcd(n, 0) = |n| für jedes n ungleich null, während gcd(0, 0) undefiniert ist und mit einem invalid_input-Fehler abgelehnt wird statt mit einer stillschweigenden, falschen Null.
Wo er in der Praxis eingesetzt wird
Sie können es auf dieser Seite kostenlos mit demselben Code ausprobieren, der auch die API bedient, und zahlen erst dann $0.002 pro Anfrage, wenn Sie es aus Ihren eigenen Systemen aufrufen – günstig genug, um es direkt in einen Datenbereinigungsschritt einzubauen, der Millionen von Paaren verarbeitet.