Scala appoggiata

Una scala appoggiata a una parete è il primo problema di statica che molti studenti incontrano, ed è anche un vero controllo di sicurezza in cantiere: se il pavimento scivola, il piede si allontana. Questo calcolatore di equilibrio della scala prende il peso, la lunghezza e l’angolo con il pavimento e restituisce il coefficiente minimo di attrito al piede, insieme alla reazione orizzontale della parete e alle reazioni verticale e orizzontale del pavimento. Il modello è una scala uniforme contro una parete verticale liscia su un pavimento scabro. La lunghezza compare ancora nell’altezza del contatto con la parete e nella distanza della base dalla parete, anche se si cancella nell’attrito limite.

Che cosa chiede davvero l’equilibrio di una scala appoggiata

Una scala rigida uniforme di peso W e lunghezza L che poggia il piede su un pavimento orizzontale scabro e la sommità contro una parete verticale liscia, formando un angolo θ con il pavimento, è il primo problema classico di equilibrio nella statica introduttiva. Liscia, in questo modello, significa che la parete spinge solo in orizzontale: non c’è attrito verticale in alto, quindi tutto il peso è portato dal pavimento. L’equilibrio verticale fissa allora la normale del pavimento uguale a W.

L’equilibrio orizzontale uguaglia l’attrito del pavimento alla reazione della parete P, perché quelle due forze orizzontali sono le uniche del diagramma di corpo libero. Il peso di una scala uniforme agisce a metà lunghezza. Prendendo i momenti rispetto al piede, il momento del peso è W volte metà lunghezza volte cos θ, e il momento della reazione della parete è P volte la lunghezza volte sen θ.

Uguagliare quei momenti cancella la lunghezza e dà P uguale a W diviso per due volte tan θ. Il più piccolo coefficiente di attrito che può fornire quella forza orizzontale senza scivolamento cinetico è μ_min uguale a P su W, che si riduce a uno su due tan θ. Quel risultato compatto spiega perché una scala più coricata esige un pavimento più aderente, e perché una scala verticale a novanta gradi non ha bisogno di alcun attrito.

Questo calcolatore implementa quella forma chiusa da manuale. Riporta anche l’altezza del contatto con la parete L sen θ e la distanza della base dalla parete L cos θ, così un foglio di lavoro può etichettare la geometria anche se L si è cancellata nei rapporti di forza. Non fa salire una persona sui pioli, non tratta una parete scabra e non consulta tabelle di materiali.

Quando l’angolo è esattamente zero la scala è distesa a terra, tan θ vale zero e la reazione della parete è indefinita; la capacità rifiuta quell’ingresso invece di restituire l’infinito.

Controlli da manuale, lettura di sicurezza e che cosa questa pagina non è

Chi redige lezioni o LMS deve trattare questo come l’oracolo del problema da manuale a parete liscia, non come un risolutore generale di contatto. Un controllo classico è una scala di duecento newton e cinque metri a sessanta gradi: la tangente di sessanta è la radice di tre, quindi μ_min vale uno su due radice di tre, circa zero punto due otto nove; la reazione della parete è cento su radice di tre, la normale del pavimento uguaglia il peso e l’attrito del pavimento uguaglia la reazione della parete.

Un altro controllo è quarantacinque gradi, dove tan θ vale uno e μ_min è esattamente un mezzo indipendentemente da peso e lunghezza. Se un problema chiede se un pavimento dato con μ noto è sicuro, calcoli qui μ_min e confronti: la scala non scivola solo quando il coefficiente disponibile è almeno μ_min. Angoli più coricati esigono più attrito; per questo i cartelli di sicurezza chiedono di lasciare la base a circa un quarto della lunghezza di lavoro dalla parete, un angolo vicino a settantasei gradi e un μ_min modesto.

Questa pagina è per chi cerca un calcolatore di equilibrio della scala, un calcolatore di attrito di scala appoggiata o il μ minimo di una scala inclinata. Non è uno strumento di alzata del gradino, né un conteggio di blocchi di muro di sostegno, né il coefficiente di rotolamento senza slittamento su un piano. Se serve anche l’accelerazione di una scala che già scivola dopo aver perso l’attrito, quello è un altro problema, dinamico, fuori ambito.