Calcolatore di quadratura Gauss-Legendre a 2 punti
Due punti ben scelti bastano per qualsiasi cubica: integrando x² da 0 a 1 con Gauss-Legendre a due punti si ottiene esattamente un terzo, come l’integrale esatto, con errore nullo. Nodi, valori ed errore sono mostrati. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Coefficienti
- 1, 0, 0
- Limite inferiore
- 0
- Limite superiore
- 1
- Grado
- 2
- Nodi standard
- -0,5773502692, 0,5773502692
- Nodi trasformati
- 0,2113248654, 0,7886751346
- Valori della funzione
- 0,0446581987, 0,6220084679
Questo calcolatore di quadratura Gauss-Legendre a due punti approssima l’integrale definito di un polinomio su un intervallo finito. Inserisca i coefficienti in ordine decrescente di potenza, quindi specifichi il limite inferiore e quello superiore. Lo strumento trasforma i nodi standard da [-1, 1] all’intervallo indicato, valuta due volte il polinomio e combina i valori con il corretto fattore di scala. Mostra inoltre l’integrale polinomiale esatto e l’errore assoluto, risultando utile per lo studio, la verifica dei calcoli manuali e il collaudo del codice di integrazione numerica.
Inserisca con chiarezza il polinomio e l’intervallo
Rappresenti il polinomio mediante coefficienti ordinati dalla potenza più alta fino al termine costante. Per esempio, l’array [2, -3, 0, 5] indica 2x³ - 3x² + 0x + 5. Mantenga gli zeri espliciti quando manca una potenza intermedia, poiché la posizione di ogni coefficiente ne determina l’esponente.
Inserisca poi un limite inferiore e uno superiore finiti, con quello superiore strettamente maggiore di quello inferiore. Il calcolatore accetta polinomi costanti e di grado più elevato, entro il limite documentato di coefficienti. Non interpreta espressioni simboliche come «x al quadrato più uno»: l’array numerico elimina le ambiguità su precedenza, segni e termini mancanti.
Prima di calcolare, controlli che il verso dell’intervallo coincida con l’integrale definito desiderato. Se Le serve l’integrale nel verso opposto, scambi personalmente gli estremi e cambi il segno del risultato. Questa scelta rende semplici da ispezionare sia la trasformazione visualizzata sia il fattore positivo dell’intervallo.
Comprenda la trasformazione e la valutazione pesata
La quadratura Gauss-Legendre a due punti parte dai nodi standard -1/√3 e 1/√3, ciascuno con peso uno sull’intervallo standard [-1, 1]. Per un intervallo [a, b], il calcolatore usa il punto medio (a + b)/2 e la semiampiezza (b - a)/2. Ogni nodo standard t viene trasformato mediante x = punto medio + semiampiezza × t.
Il polinomio viene valutato soltanto nei due valori trasformati di x. La somma delle valutazioni viene quindi moltiplicata per la semiampiezza, generando l’approssimazione. L’output espone i nodi standard e trasformati insieme a ciascun valore della funzione, così Lei può riprodurre ogni parte del calcolo in modo indipendente.
I nodi Gauss-Legendre sono scelti per ottenere una precisione algebrica maggiore rispetto a punti equidistanti con lo stesso numero di valutazioni. La regola non valuta gli estremi e non esegue suddivisioni adattive: applica una sola volta la formula classica a due nodi sull’intero intervallo richiesto.
Interpreti l’esattezza e l’errore riportato
Una regola Gauss-Legendre con due nodi integra esattamente, in aritmetica esatta, ogni polinomio di grado non superiore a tre. Per polinomi di grado quattro o maggiore fornisce in genere un’approssimazione, sebbene coefficienti particolari o intervalli simmetrici possano talvolta annullare l’errore. Nei casi teoricamente esatti possono comparire piccoli residui, perché i numeri JavaScript usano aritmetica in virgola mobile a precisione finita.
Usi il confronto per studiare l’effetto di grado, ampiezza dell’intervallo e simmetria su una regola fissa. Con gradi impegnativi o coefficienti grandi, riscalare la variabile può ridurre overflow e sensibilità agli arrotondamenti.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di analisi numerica
Confronti nodi trasformati, valori campionati e approssimazione finale con ogni riga del calcolo manuale.
Dimostrare l’esattezza per le cubiche
Provi polinomi fino al terzo grado su intervalli diversi e osservi il riferimento esatto e l’errore in virgola mobile.
Creare casi di regressione
Generi risultati deterministici per testare valutazione polinomiale, trasformazione degli intervalli o software di integrazione.
Domande frequenti
Che cosa indica un array di coefficienti?
I coefficienti sono elencati per potenze decrescenti. [3, 0, -2] rappresenta 3x² - 2; lo zero conserva il termine lineare mancante.
Perché i nodi standard sono più e meno 1 diviso la radice di 3?
Sono le radici del secondo polinomio di Legendre. Con pesi uguali rendono la regola esatta per ogni polinomio fino al terzo grado.
Il metodo valuta gli estremi dell’intervallo?
No. Entrambi i nodi trasformati sono interni all’intervallo; la regola Gauss-Legendre a due punti non campiona gli estremi.
Perché una cubica esatta può mostrare un errore minimo?
La regola matematica è esatta per le cubiche, ma nodi e operazioni usano virgola mobile a precisione finita, quindi può restare un piccolo residuo.
Quanto costa?
La versione per browser viene eseguita localmente, senza calcolo in rete.
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Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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}Esempio di risposta
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"type": "calculus.gauss_legendre_2point",
"status": "queued",
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}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Interpreti l’esattezza e l’errore riportato
Il campo exact_for_polynomial descrive quindi la garanzia generale legata al grado, non una conclusione tratta soltanto da uno zero visualizzato. Poiché l’input è già un polinomio, il calcolatore ricava anche un riferimento esatto integrando analiticamente ogni monomio e valutando la primitiva ai due estremi. absolute_error è la differenza non negativa fra tale riferimento e la quadratura.