Multiplication d’entiers gaussiens
Multipliez deux entiers de Gauss sans arrondi : (3 + 2i)(1 − 4i) donne 11 − 10i. Le calculateur développe le produit, remplace i² par −1 et renvoie les parties réelle et imaginaire en nombres entiers, utilisables pour des exercices d’arithmétique. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A réel
- 3
- A imaginaire
- 2
- B réel
- 1
- B imaginaire
- -4
- Partie réelle
- 11
- Partie imaginaire
- -10
Ce calculateur multiplie deux entiers de Gauss de la forme a + bi, dont chaque composante est entière, puis renvoie leur produit exact sous la même forme. Saisissez séparément les quatre coefficients : l’outil applique la distributivité et l’identité selon laquelle i au carré vaut -1. Le résultat fournit une partie réelle et un coefficient imaginaire, utilisables pour les exercices de théorie des nombres, les vérifications algébriques, les tests logiciels et les traitements qui exigent un résultat fiable.
Représentez les deux entiers de Gauss par quatre composantes
Un entier de Gauss s’écrit a + bi, avec a et b entiers et i comme unité imaginaire. Pour multiplier 3 + 2i par 1 - 4i, saisissez 3, 2, 1 et -4. Conservez le signe de chaque coefficient : celui de -4i est -4.
Pour un nombre purement réel, indiquez zéro comme coefficient imaginaire ; pour un nombre purement imaginaire, indiquez zéro comme partie réelle. Les fractions, textes numériques, valeurs infinies et autres données non entières sont refusés sans arrondi ni conversion implicite. Ce contrat strict distingue ainsi l’arithmétique exacte du calcul complexe approché.
Comprenez le calcul du produit
Le calcul développe (a + bi)(c + di) avec la distributivité. Les produits donnent ac + adi + bci + bdi au carré. Puisque i au carré vaut -1, le dernier terme devient -bd.
Les termes sans i donnent la partie réelle ac - bd, tandis que les coefficients de i donnent la partie imaginaire ad + bc. Le calculateur renvoie ces deux entiers sous les clés real et imaginary. Pour 3 + 2i et 1 - 4i, la partie réelle vaut 3 fois 1 moins 2 fois -4, et la partie imaginaire vaut 3 fois -4 plus 2 fois 1.
Cette représentation évite toute ambiguïté de signe et facilite un traitement ultérieur. L’algorithme se limite à quatre multiplications, une addition et une soustraction d’entiers bornés. Les limites garantissent des résultats intermédiaires et finaux exacts dans la plage sûre de JavaScript.
L’opération est déterministe et n’utilise ni réseau, ni modèle, ni horloge, ni hasard.
Exploitez le résultat en mathématiques et en logiciel
Les entiers de Gauss forment un anneau : leur produit reste donc un entier de Gauss. Cette fermeture intervient dans l’étude des sommes de deux carrés, des nombres premiers gaussiens, des normes et de la factorisation dans Z[i]. Vous pouvez comparer une expansion manuelle aux deux composantes renvoyées ou les transmettre à l’étape exacte suivante.
Un contrôle indépendant repose sur la norme multiplicative N(a + bi) = a au carré + b au carré : la norme du produit doit égaler le produit des normes des entrées. Dans vos tests, prévoyez des changements de signe, des zéros, des facteurs purement réels ou imaginaires et les unités 1, -1, i et -i. Une composante invalide provoque une erreur et n’est jamais approximée.
Des composantes fractionnaires relèvent des nombres complexes généraux et nécessitent une autre opération.
Cas d’usage
Vérifier un exercice de théorie des nombres
Contrôlez les coefficients réel et imaginaire obtenus en développant un produit d’entiers de Gauss.
Tester un code d’arithmétique complexe exacte
Créez des résultats attendus stables pour des tests avec coefficients entiers et signes négatifs.
Construire un traitement d’entiers de Gauss
Transmettez les composantes exactes aux étapes de norme, divisibilité, factorisation ou visualisation.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un entier de Gauss ?
C’est un nombre complexe a + bi dont les composantes a et b sont toutes deux entières.
Quelle formule le calculateur applique-t-il ?
Il applique (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Puis-je saisir des composantes décimales ou fractionnaires ?
Non. Chaque composante doit être entière ; toute valeur fractionnaire, non finie, absente ou textuelle provoque une erreur de saisie.
Comment saisir une valeur purement réelle ou imaginaire ?
Indiquez zéro pour la composante absente : 5 correspond à réel 5 et imaginaire 0 ; 5i à réel 0 et imaginaire 5.
Quel est le tarif ?
La version interactive peut fonctionner localement dans votre navigateur.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.gaussian_integer_multiply",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs_component | 10000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Représentez les deux entiers de Gauss par quatre composantes
Le premier nombre utilise a_real pour a et a_imag pour b ; le second utilise b_real pour c et b_imag pour d. Les quatre champs sont requis afin d’éviter toute ambiguïté dans une requête API. Chaque composante doit être un entier JSON compris dans les limites publiées.
Exploitez le résultat en mathématiques et en logiciel
Le point d’accès coûte $0.002 par requête API ; l’outil du navigateur fonctionne localement.