Convertisseur base φ (nombre d'or)

La base φ, aussi appelée base du nombre d'or ou phinary, est le système de numération positionnel dont la racine est le nombre d'or φ égal à (un plus la racine carrée de cinq) sur deux —environ 1.618. Chaque rang est une puissance de φ, et les seuls symboles de chiffre nécessaires sont zéro et un. Les entiers qui semblent ordinaires en base dix ont souvent besoin d'une partie fractionnaire en base φ : le contrôle classique en classe est que deux devient un-zéro point zéro-un en base φ, et que cette chaîne s'évalue de nouveau exactement comme deux.

Comment fonctionnent l'encodage et le décodage en base φ (nombre d'or)

La base φ est une notation positionnelle de racine égale au nombre d'or φ égal à (un plus la racine carrée de cinq) sur deux. Comme φ satisfait l'identité φ au carré égal à φ plus un, les puissances de φ obéissent à la même récurrence linéaire que la suite de Fibonacci : toute puissance entière φ à la k s'écrit exactement comme F_k fois φ plus F_{k−1}.

Cette identité explique pourquoi tout entier non négatif a une représentation finie avec seulement les chiffres zéro et un, souvent avec des chiffres après le point. Les contrôles classiques de la littérature incluent un encodé en un, deux en dix point zéro un, trois en cent point zéro un, quatre en un zéro un point zéro un et cinq en mille point un zéro zéro un.

Pour encoder un décimal fini, un algorithme glouton trouve la plus grande puissance de φ qui ne dépasse pas le reste, place un un à cette place, soustrait la valeur de place et continue sur un nombre fixe de places fractionnaires jusqu'à ce que le résidu soit négligeable. Les zéros de tête avant le point et les zéros de queue après le point sont retirés pour compacter la chaîne ; zéro est le chiffre unique zéro.

Les entrées négatives gardent un signe moins initial sur la chaîne de chiffres comme en décimal. Pour décoder, retirez un préfixe optionnel zéro-phi ou un suffixe phi, puis évaluez chaque chiffre multiplié par la puissance de φ correspondante et additionnez —l'accumulation style Horner de gauche fonctionne aussi. Les chaînes non canoniques contenant des uns consécutifs restent acceptées au décodage car onze en base φ égale cent en base φ par l'identité fondatrice ; l'encodeur préfère la forme gloutonne sans passe de réécriture séparée.

Les caractères invalides tels que le chiffre deux, des lettres hors d'un préfixe ou suffixe autorisé, des espaces dans le corps ou plus d'un point de base abortent avec une entrée invalide nommant le problème.

Où un convertisseur de base du nombre d'or apporte de la valeur

Les cours de théorie des nombres et de maths récréatives introduisent la base φ pour montrer qu'une racine non entière peut encore donner à chaque naturel un développement fini avec un alphabet binaire, ce qui surprend ceux qui ne convertissent qu'entre bases entières de deux à trente-six. Les générateurs de préparation aux examens et les plugins LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque comme fausse un décodage binaire d'une chaîne destinée au phinary, et qui n'invente jamais un chiffre deux.

Les ingénieurs logiciels qui écrivent des tests unitaires pour des composants multi-bases génèrent des chaînes phinary attendues et affirment l'égalité aller-retour de décimal vers base φ et retour, y compris les bords négatifs et les parties fractionnaires que les convertisseurs de bases entières ordinaires refusent.

Les designers qui explorent l'esthétique du nombre d'or ont parfois besoin de la forme numérale d'une longueur ou d'un facteur d'échelle pour des outils narratifs et des démos pédagogiques ; ce point de terminaison reste honnête sur la conversion numérale et ne remplace pas une calculatrice d'échelle typographique modulaire.

Traitez la conversion ordinaire de bases entières, le négabinaire, le codage Zeckendorf de Fibonacci comme somme pure de Fibonacci sans puissances de φ, et les échelles typographiques du nombre d'or pour titres et corps comme des intentions de recherche distinctes avec leurs propres landings, plutôt que d'étirer ce convertisseur de base φ au-delà de son périmètre honnête.