Combinaisons avec répétition

La forme fermée classique est n plus r moins un choisir r, notée C(n+r−1, r), aussi appelée multichoisir, combinaisons de multiensembles, ou le nombre de solutions entières non négatives de x_1 + … + x_n = r selon la méthode des étoiles et des barres. Utilisez-le gratuitement dans le navigateur pour vos devoirs, votre préparation aux concours et vos katas de programmation, ou appelez l'API à $0.002 par requête réussie lorsque vous avez besoin de données de référence de combinaisons de multiensembles reproductibles en intégration continue, dans des modèles d'inventaire, ou des démonstrations pédagogiques.

Ce que signifient les combinaisons avec répétition et ce que contient la réponse

Il n'existe aucune voie approximative en virgule flottante présentée comme vraie et aucun échantillonnage aléatoire de sous-ensembles : le moteur construit soit le produit binomial exact dans la plage prise en charge, soit rejette l'entrée avec invalid_input. Les cas rejetés incluent l'absence de n ou de r, des nombres non entiers, des fractions, une notation scientifique, des valeurs supérieures aux plafonds documentés, un n inférieur à un, et tout r négatif. Si vous avez besoin de combinaisons ordinaires sans remise, de permutations, ou d'une énumération des multiensembles réels, utilisez ces outils dédiés ; cette page ne répond qu'au nombre de combinaisons de multiensembles, avec une sortie BigInt exacte adaptée aux fiches d'exercices, aux tests unitaires et aux clients de l'API qui ne doivent pas perdre de chiffres au-delà des entiers sûrs de JavaScript.

Comment n et r sont lus et comment BigInt garde chaque chiffre exact

Les signes plus optionnels en tête sont autorisés ; les espaces incrustés, les préfixes hexadécimaux, les signes négatifs là où ils sont interdits, et la notation exponentielle sont rejetés avec un message clair, pour qu'une mauvaise cellule ne se transforme pas en mauvais nombre. Zéro pour r est valide et renvoie un, conformément aux conventions du produit vide et de la sélection vide utilisées en mathématiques discrètes. Le calcul utilise la formule multiplicative BigInt pour C(a, b) : multiplier des facteurs successifs (a − i) / (i + 1) pour i de zéro jusqu'au plus petit de b et a − b, afin que les valeurs intermédiaires restent exactes sans construire de factorielles complètes qui gaspilleraient temps et mémoire. Les champs privilégiés sont n pour le nombre de types et r pour le nombre d'éléments à sélectionner, mais les alias types et kinds pour n et k et count pour r sont acceptés, afin que les feuilles de calcul, les chaînes de requête et les formulaires typés puissent réutiliser le même contrat. Le moteur impose des maxima stricts de cinq cents pour n et r, ce qui garde la mémoire et la latence dans un budget prévisible sur la voie du navigateur gratuit et sur le Worker en périphérie, même si les coefficients binomiaux croissent rapidement. Chaque valeur intermédiaire est un BigInt et le nombre final est sérialisé avec toString, afin que le JSON ne perde jamais de chiffres comme le feraient les doubles IEEE au-delà du cinquante-troisième bit. Associez l'exécution gratuite dans le navigateur sur cette page à l'API payante lorsque vous avez besoin du même résultat mathématique au sein d'un pipeline automatisé, sans réimplémenter vous-même les étoiles et les barres.

Où les combinaisons de multiensembles interviennent dans les études, le code et la modélisation

Sur cette page, le travail s'exécute entièrement dans votre navigateur ; via l'API, chaque recherche réussie coûte $0.002, la validation échouée n'est pas facturée, et rien n'est conservé après le renvoi de la réponse. Cette séparation — exploration interactive gratuite et API payante identique — correspond au reste du catalogue de niveau A de KIT, et vous permet de passer d'une démonstration en classe à un pipeline automatisé sans changer le résultat mathématique.