調和級数
調和級数の最初の10項の和は2.928968253968で、3に届きません。新しい分数は前より小さいのに、和は増え続けます。足す項の数を選べば、宿題やパズルに使える正確な部分和が分かります。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- N
- 10
- Sum
- 2.928968254
調和級数とは、正の整数の逆数を足し合わせた和です。1 に 2 分の 1、3 分の 1……と続き、最後の項はありません。その有限の接頭、調和数 H_n は限りなく大きくなりますが、増え方は n の自然対数ほどに緩やかです。級数の発散を初めて学ぶ学生、ゆっくり増える参照列が欲しいパズル愛好者やプログラミング型の練習愛好者、各接頭で少し余分な仕事をする入れ子ループを見積もる技術者が、いずれも H_n に出会います。正の整数 n を送ると、この機能はその n 番目の部分和を返すので、課題用紙の確認、テスト固定値の固定、対数的な増加の観察を、自分でループを書かずに行えます。
H_n とは何か、無限級数に最終合計がない理由
n 番目の調和数は、k を 1 から n まで動かした 1/k の総和として H_n と定義されます。これは古典的な調和級数 1 足す 2 分の 1 足す 3 分の 1……の有限の接頭であり、各項が 0 に向かって小さくなっても級数は発散します。n が 1 なら和はちょうど 1 です。
n が 2 なら 1.5 です。n が 4 なら 2 を少し超え、n が 10 になると合計はおよそ 2.929 になります。教科書がこれらの初期値を使うのは、項が 0 に向かうだけでは収束しないことを示すためです。
新しい逆数はどれも前より小さいのに、走行合計は有限の上限なしにじりじり増え続けます。同じ部分和は、積分による比較判定、1 足す 2 分の 1 足す 1/n の仕事単位をたどる入れ子ループの見積もり、期待値が n 倍の H_n になるクーポンコレクターのスケッチにも現れます。
倍音を学ぶ趣味の方は音楽で似た語を聞きますが、この計算機は離散的な逆数の和であり、弦の周波数表ではありません。無限級数に有限の総和はないため、ソフトウェアが級数全体の閉じた値を返すことはありません。常に正の整数 n で添字付けられた部分和を返します。
この機能はその対象を、逆数加算の決定的なループ、エッジ上の実行時間が予測できるようにした n の上限、そして n をエコーし安定に丸めた和を報告し数式を言い換える応答として実装します。ログや教材は、依頼をゼロから組み立て直さずに表示できます。
入力の契約、加算の順、丸め、エラー
n は 1 以上 100 万以下の正の整数です。ハンドラは総和を始める前に、n が存在し、有限で、整数であり、その範囲内にあることを確認します。成功時のボディには n、sum、formula が含まれます。
既約の分子分母のような厳密分数が必要な場合、この機能は数式処理システムではありません。返すのは浮動小数点の部分和だけです。証明に分数が要るときはご自身の有理数演算と組み合わせ、ワークシート、型練習、小さな自動化で高速かつ監査可能な数値の H_n が要るときにこの端点をお使いください。
調和部分和ツールが真価を発揮する場面
趣味の教室や個別指導では、調和級数計算機を使い、初めての繰り返しループを時間に追われて書かずとも増加率を調べられます。プログラミング型の練習サイトや面接対策では、H_n で大きな O の直感を語ります。1/k の和は Theta の log n であり、入れ子の一部がほぼ線形に感じられながら定数倍を超えて増える理由を説明します。
パズル作者は、ゆっくり増える得点表、収穫逓減の曲線、クーポン型の試行回数の期待値を、大きな数学ライブラリを引き込まずに入れたいときに調和接頭を埋め込みます。無料のブラウザ道具と自動化経路が、丸めた桁で食い違わないからです。検証に失敗しても残高は減りません。
n を有界に保ち、依頼を小さくすれば、テスト、ノート、エッジワーカーに固定できる再現可能な数値が得られます。
活用例
教室と個別指導での確認
学習者が増加する n に対して H_n を求め、自分で総和ループを書かずに緩やかな対数的増加を観察できるようにします。
プログラミング型練習と計算量のメモ
入れ子ループ、クーポンコレクターのスケッチ、解析ノートの調和上界を説明するとき、1/k の和が log n に沿うことを示します。
パズル得点とテスト固定値
安定した調和部分和を参照定数として使いたいとき、趣味のゲーム表、課題用紙、結合テストに H_n を固定します。
よくある質問
n が正の整数でないとどうなりますか？
調和数は正の整数に対してだけ定義されるため、0、負数、分数、欠落した n は課金なしで拒否されます。
和はどのように丸められますか？
逆数を 1/n から 1 まで足し、実行環境をまたいでも再現できるよう小数第 12 位に丸めます。厳密な有理分数ではありません。
送れる n の上限はありますか？
あります。 実行時間が有界に保たれるよう、n は最大で 100 万です。
調和級数は収束しますか？
収束しません。各項はゼロに近づきますが、和は有限の限界を持たずに増え続け、項の数の自然対数とほぼ同じ速さで大きくなります。
調和級数の最初の10項の和はいくつですか？
約2.928968253968で、3より少し小さい値です。1に2分の1、3分の1と10分の1まで足していくと、和はゆっくりとしか増えません。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 10
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "hobby.harmonic_series",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_n | 1000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
n が欠けている、整数でない、または正でない場合、タスクは invalid_input で失敗し、課金されません。
入力の契約、加算の順、丸め、エラー
必須フィールド n を 1 つだけ持つ JSON ボディを POST してください。フィールドは別名 terms でも届きます。1 未満、非整数、欠落、空文字、公開された最大を超える n はフィールド名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。12 桁あれば教室の確認、パズルの記録、たいていの工学的見積もりには十分で、しかもきれいな JSON 数値のままです。formula フィールドは H_n を人が読める文字列に言い換えるので、画面は追加の整形コードなしで級数を数値の横に出せます。
調和部分和ツールが真価を発揮する場面
実装は純粋な parse の tier A なので、成功した呼び出しはどれもモデルのトークンも外向き通信もなく、公開の $0.002 基本料金です。
技術的な質問
この調和級数ツールは何を返しますか？
n 番目の部分和 H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n を浮動小数点数として返し、あわせて n と短い数式文字列を返します。正の整数 n を送ってください。
調和級数の部分和の呼び出しはいくらですか？
ブラウザの道具は無料です。API の依頼は成功した呼び出しごとに前払い残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。