Serie armónica
Los diez primeros términos de la serie armónica suman 2,928968253968, algo menos de tres, aunque cada fracción nueva es menor que la anterior. Elija cuántos términos sumar y obtenga la suma parcial exacta para una tarea o un acertijo. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Sum
- 2,928968254
La serie armónica es la suma de los recíprocos de los enteros positivos: uno más un medio más un tercio y así sucesivamente, sin un último término. Sus prefijos finitos, los números armónicos H_n, crecen sin cota, aunque solo tan deprisa como el logaritmo natural de n. Los estudiantes encuentran H_n al estudiar la divergencia de series; aficionados a acertijos y katas de programación lo usan como sucesión de referencia de crecimiento lento; los ingenieros lo emplean para acotar bucles anidados que hacen un poco de trabajo extra en cada prefijo. Envíe un entero positivo n y esta capacidad devolverá esa suma parcial n-ésima para que pueda revisar una hoja de ejercicios, fijar un caso de prueba o inspeccionar el crecimiento logarítmico sin escribir el bucle.
Qué es H_n y por qué la serie infinita no tiene un total final
El número armónico n-ésimo se define como H_n igual a la suma desde k igual a uno hasta n de uno sobre k. Ese es el prefijo finito de la serie armónica clásica uno más un medio más un tercio y así sucesivamente, una serie que diverge aunque sus términos se encogen hacia cero. Para n igual a uno la suma es exactamente uno.
Para n igual a dos vale uno y medio. Para n igual a cuatro supera un poco el dos, y hacia n igual a diez el total ronda dos punto nueve dos nueve. Esos primeros valores son los que los libros usan para mostrar que términos que van a cero no bastan para que una serie converja: cada nuevo recíproco es menor que el anterior, y aun así el acumulado sigue trepando sin un límite finito.
Las mismas sumas parciales aparecen en pruebas de comparación integral, al acotar bucles anidados que visitan unidades de trabajo uno más un medio más uno sobre n, y en esbozos del coleccionista de cupones cuya esperanza es n veces H_n. Quien estudia sobretonos oirá una palabra emparentada en música, pero esta calculadora es la suma discreta de recíprocos, no una tabla de frecuencias de armónicos de una cuerda.
Como la serie infinita no tiene un total finito, el software nunca devuelve un valor cerrado para la serie completa: siempre devuelve una suma parcial indexada por un entero positivo n.
Esta capacidad implementa ese objeto con un bucle determinista de sumas de recíprocos, un tope duro sobre n para que el tiempo de ejecución en el borde sea predecible, y una respuesta que repite n, informa una suma redondeada de forma estable y reescribe la fórmula para que registros y materiales de clase muestren la petición sin reconstruirla desde cero.
Contrato de entrada, orden de suma, redondeo y errores
El manejador comprueba que n esté presente, sea finito, entero y esté dentro de ese rango antes de comenzar cualquier suma. Si acierta, el cuerpo contiene n, sum y formula. Si necesita una fracción exacta reducida, numerador sobre denominador, esta capacidad no es un sistema de álgebra computacional; solo devuelve una suma parcial en coma flotante.
Combínela con su propia aritmética racional cuando una demostración exija fracciones, y use este extremo cuando necesite un H_n numérico rápido y auditable en hojas, katas o automatización breve. El campo formula reescribe H_n en una cadena legible para que una interfaz muestre la serie junto al número sin código extra de formato.
Dónde una herramienta de suma parcial armónica se gana su sitio
Las aulas de aficionados y las tutorías usan una calculadora de serie armónica para que quien aprende explore tasas de crecimiento sin escribir su primer bucle de iteración bajo presión de tiempo. Sitios de katas de programación y de preparación de entrevistas usan H_n para hablar de la intuición de la notación O-grande: la suma de uno sobre k es Theta de log n, lo que explica por qué algunos algoritmos anidados se sienten casi lineales y aun así superan los factores constantes.
Quienes diseñan acertijos a veces incrustan prefijos armónicos cuando quieren una tabla de puntuación que crece despacio, una curva de rendimientos decrecientes o un recuento esperado de intentos al estilo cupón sin arrastrar una biblioteca matemática completa. Una validación fallida no consume saldo. Acote n, mantenga pequeña la petición y obtendrá un número reproducible que puede fijar en pruebas, cuadernos y workers de borde.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones en aula y tutoría
Permita que el alumnado pida H_n para n crecientes y observe el lento crecimiento logarítmico sin escribir ellos mismos el bucle de suma.
Katas de programación y notas de complejidad
Muestre que sumar uno sobre k sigue a log n al explicar bucles anidados, esbozos del coleccionista de cupones o cotas armónicas en apuntes de análisis.
Puntuaciones de acertijos y casos de prueba
Fije H_n en una tabla de juego amateur, una hoja de ejercicios o una prueba de integración cuando necesite una suma parcial armónica estable como constante de referencia.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si n no es un entero positivo?
Los números armónicos se definen solo para enteros positivos, así que el cero, los negativos, las fracciones y la n ausente se rechazan sin cargo.
¿Cómo se redondea la suma?
Los recíprocos se suman desde 1/n hasta 1 y el resultado se redondea a doce decimales para reproducibilidad entre entornos de ejecución. No es una fracción racional exacta.
¿Hay un máximo de n que se pueda enviar?
Sí. n debe ser como máximo un millón para que el tiempo de ejecución siga acotado.
¿Converge la serie armónica?
No. Sus términos se acercan a cero, pero el total sigue subiendo sin límite finito y crece más o menos tan rápido como el logaritmo natural del número de términos.
¿Cuánto suman los diez primeros términos de la serie armónica?
Unos 2,928968253968, algo menos de tres. Uno más un medio más un tercio y así hasta un décimo sube despacio, por eso la serie parece tranquila aunque crece para siempre.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "hobby.harmonic_series",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 1000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Si n falta, no es un entero o no es estrictamente positivo, la tarea falla con invalid_input y no se factura.
Contrato de entrada, orden de suma, redondeo y errores
Envíe por POST un cuerpo JSON con un único campo obligatorio n: un entero positivo mayor o igual que uno y como máximo un millón. El campo también puede llegar con el alias terms. Los valores por debajo de uno, los no enteros, los campos ausentes, las cadenas vacías y una n por encima del máximo publicado fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no se facturan. Doce dígitos bastan de sobra para comprobaciones de aula, crónicas de acertijos y la mayoría de las estimaciones de ingeniería, y siguen siendo un número JSON limpio.
Dónde una herramienta de suma parcial armónica se gana su sitio
Como la implementación es parse puro de tier A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002, sin tokens de modelo y sin red saliente.
Preguntas técnicas
¿Qué devuelve esta herramienta de serie armónica?
Devuelve la suma parcial n-ésima H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n como número de coma flotante, junto con n y una cadena breve de fórmula. Envíe un entero positivo n.
¿Cuánto cuesta una llamada de suma parcial de la serie armónica?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones a la API usan saldo prepago a $0.002 por llamada exitosa; una entrada inválida no se factura.