Série harmônica
Os dez primeiros termos da série harmônica somam 2,928968253968, um pouco menos de três, embora cada nova fração seja menor que a anterior. Escolha quantos termos somar e receba a soma parcial exata para a lição ou um desafio. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 10
- Sum
- 2,928968254
A série harmônica é a soma dos inversos dos inteiros positivos: um mais um meio mais um terço e assim por diante, sem um último termo. Seus prefixos finitos, os números harmônicos H_n, crescem sem limite, porém só tão depressa quanto o logaritmo natural de n. Estudantes encontram H_n ao estudar divergência de séries; fãs de quebra-cabeças e de katas de programação usam essa sequência de crescimento lento como referência; engenheiros a empregam para limitar laços aninhados que fazem um pouco de trabalho extra em cada prefixo. Envie um inteiro positivo n e esta capacidade devolve essa n-ésima soma parcial para você conferir uma folha de exercícios, fixar um caso de teste ou inspecionar o crescimento logarítmico sem escrever o laço.
O que é H_n e por que a série infinita não tem um total final
O n-ésimo número harmônico se define como H_n igual à soma de k igual a um até n de um sobre k. Esse é o prefixo finito da série harmônica clássica um mais um meio mais um terço e assim por diante, uma série que diverge mesmo com termos que encolhem rumo a zero. Para n igual a um a soma é exatamente um.
Para n igual a dois vale um e meio. Para n igual a quatro passa um pouco de dois, e por n igual a dez o total fica perto de dois ponto nove dois nove. Esses primeiros valores são os que os livros usam para mostrar que termos indo a zero não bastam para a série convergir: cada novo inverso é menor que o anterior, e mesmo assim o acumulado continua subindo sem limite finito.
As mesmas somas parciais aparecem em testes de comparação integral, ao limitar laços aninhados que visitam unidades de trabalho um mais um meio mais um sobre n, e em esboços do colecionador de cupons cuja esperança é n vezes H_n. Quem estuda harmônicos musicais ouve uma palavra aparentada, mas esta calculadora é a soma discreta de inversos, não uma tabela de frequências de uma corda.
Como a série infinita não tem total finito, o software nunca devolve um valor fechado para a série inteira: sempre devolve uma soma parcial indexada por um inteiro positivo n. Esta capacidade implementa esse objeto com um laço determinístico de adições de inversos, um teto rígido em n para o tempo de execução na borda permanecer previsível, e uma resposta que ecoa n, informa uma soma arredondada de forma estável e reescreve a fórmula para logs e materiais de aula exibirem o pedido sem reconstruí-lo do zero.
Onde uma ferramenta de soma parcial harmônica se justifica
Salas de aula amadoras e sessões de tutoria usam uma calculadora de série harmônica para quem aprende explorar taxas de crescimento sem escrever o primeiro laço de repetição sob pressão de tempo. Sites de katas de programação e de preparação para entrevista usam H_n para discutir a intuição de big-O: a soma de um sobre k é Theta de log n, o que explica por que alguns algoritmos aninhados parecem quase lineares e ainda assim ultrapassam fatores constantes.
Designers de quebra-cabeça às vezes embutem prefixos harmônicos quando querem uma tabela de pontuação que cresce devagar, uma curva de retornos decrescentes ou uma contagem esperada de tentativas no estilo cupom sem puxar uma biblioteca matemática inteira. Validação que falha não consome saldo. Limite n, mantenha o pedido pequeno e você obtém um número reproduzível para fixar em testes, notebooks e workers de borda.
Casos de uso
Checagens em sala e tutoria
Deixe estudantes pedirem H_n para n crescente e observarem o crescimento logarítmico lento sem escrever o laço de soma eles mesmos.
Katas de programação e notas de complexidade
Mostre que somar um sobre k acompanha log n ao explicar laços aninhados, esboços de colecionador de cupons ou limites harmônicos em notas de análise.
Perguntas frequentes
O que acontece se n não for um inteiro positivo?
Números harmônicos se definem só para inteiros positivos, então zero, negativos, frações e n ausente são recusados sem cobrança.
Como a soma é arredondada?
Os inversos são somados de 1/n até 1 e o resultado é arredondado a doze casas decimais para reprodutibilidade entre runtimes. Não é uma fração racional exata.
Há um n máximo que posso enviar?
Sim. n deve ser no máximo um milhão para o tempo de execução permanecer limitado.
A série harmônica converge?
Não. Os termos encolhem em direção a zero, mas o total continua subindo sem limite finito, crescendo mais ou menos tão rápido quanto o logaritmo natural do número de termos.
Quanto somam os dez primeiros termos da série harmônica?
Cerca de 2,928968253968, um pouco menos de três. Um mais um meio mais um terço e assim até um décimo sobe devagar, por isso a série parece calma mesmo crescendo para sempre.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "hobby.harmonic_series",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 1000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Se n estiver ausente, não for inteiro ou não for estritamente positivo, a tarefa falha com invalid_input e não é cobrada.
Contrato de entrada, ordem da soma, arredondamento e erros
Em caso de sucesso o corpo contém n, sum e formula. Se você precisa de uma fração exata reduzida, numerador sobre denominador, esta capacidade não é um sistema de álgebra computacional; devolve só uma soma parcial em ponto flutuante. O campo formula reafirma H_n numa string legível para uma interface mostrar a série ao lado do número sem código extra de formatação. Faça POST de um corpo JSON com um único campo obrigatório n: um inteiro positivo maior ou igual a um e no máximo um milhão. O campo também pode chegar no alias terms. Valores abaixo de um, não inteiros, campos ausentes, strings vazias e n acima do máximo publicado falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. Doze dígitos bastam de sobra para checagens de sala, relatos de quebra-cabeça e a maior parte das estimativas de engenharia, e continuam um número JSON limpo. Combine-a com a sua aritmética racional quando uma prova exigir frações, e use este endpoint quando precisar de um H_n numérico rápido e auditável em planilhas, katas ou automação curta.
Onde uma ferramenta de soma parcial harmônica se justifica
Como a implementação é parse puro de tier A, toda chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002, sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Pontuações de quebra-cabeça e fixtures de teste
Fixe H_n numa tabela de jogo amador, numa planilha ou num teste de integração quando precisar de uma soma parcial harmônica estável como constante de referência.
Perguntas técnicas
O que esta ferramenta de série harmônica devolve?
Devolve a n-ésima soma parcial H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n como número em ponto flutuante, junto com n e uma string curta de fórmula. Envie um inteiro positivo n.
Quanto custa uma chamada de soma parcial da série harmônica?
A ferramenta do navegador é grátis. Pedidos à API usam saldo pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.