المتسلسلة التوافقية
مجموع الحدود العشرة الأولى من المتسلسلة التوافقية 2.928968253968، أي أقل بقليل من ثلاثة، مع أن كل كسر جديد أصغر من سابقه. اختر عدد الحدود واحصل على المجموع الجزئي الدقيق لواجب أو لغز. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 10
- Sum
- 2.928968254
المتسلسلة التوافقية هي مجموع مقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة: واحد زائد نصف زائد ثلث وهكذا دون حد أخير. تنمو بادئاتها المنتهية، وهي الأعداد التوافقية H_n، بلا حد، لكنها لا تزيد إلا بما يقارب اللوغاريتم الطبيعي للعدد n. يلتقي الطلاب بـ H_n عند دراسة تباعد المتسلسلات؛ ويعتمد عليها محبو الألغاز وتمارين البرمجة بوصفها متتالية مرجعية بطيئة النمو؛ ويستعملها المهندسون لحد الحلقات المتداخلة التي تؤدي عملا إضافيا يسيرا على كل بادئة. أرسل عددا صحيحا موجبا n فتعيد هذه القدرة ذلك المجموع الجزئي رقم n لتراجع ورقة تمارين أو تثبّت حالة اختبار أو تتفحص النمو اللوغاريتمي دون كتابة الحلقة بنفسك.
ما هو H_n ولماذا لا تملك المتسلسلة اللانهائية مجموعا ختاميا
يُعرَّف العدد التوافقي رقم n بأنه H_n يساوي مجموع واحد على k حيث تمتد k من واحد إلى n. تلك هي البادئة المنتهية للمتسلسلة التوافقية الكلاسيكية واحد زائد نصف زائد ثلث وهكذا، وهي متسلسلة متباعدة رغم أن حدودها تتقلص نحو الصفر. عندما يساوي n واحدا يكون المجموع واحدا تماما.
وعندما يساوي اثنين يكون واحدا ونصفا. وعندما يساوي أربعة يتجاوز الاثنين قليلا، وحوالي n يساوي عشرة يستقر المجموع قرب اثنين فاصلة تسعة اثنين تسعة. تلك القيم الأولى هي ما تستعمله الكتب لتبيين أن ذهاب الحدود إلى الصفر لا يكفي لتقارب المتسلسلة: فكل مقلوب جديد أصغر من سابقه، ومع ذلك يظل المجموع الجاري يتسلق بلا حد منته.
وتظهر المجاميع الجزئية نفسها في اختبارات المقارنة التكاملية، وفي حد الحلقات المتداخلة التي تزور وحدات عمل واحد زائد نصف زائد واحد على n، وفي مخططات جامع القسائم التي يبلغ توقعها n مضروبا في H_n. ومن يدرس التوافقيات الموسيقية سيسمع لفظا قريبا، لكن هذه الحاسبة هي مجموع المقلوبات المتقطع وليست جدولا لترددات وتر. ولأن المتسلسلة اللانهائية لا تملك مجموعا منتهيا، لا تعيد البرمجيات قيمة مغلقة للمتسلسلة كلها: بل تعيد دائما مجموعا جزئيا مفهرسا بعدد صحيح موجب n.
تنفّذ هذه القدرة ذلك الكائن بحلقة حتمية من جمع المقلوبات، وحد أعلى صارم على n ليبقى زمن التشغيل على الحافة متوقعا، ورد يعيد n ويبلّغ مجموعا مقرَّبا على نحو ثابت ويعيد صياغة العبارة كي تعرض السجلات والمواد الدرسية الطلب دون إعادة بنائه من الصفر.
عقد الإدخال وترتيب الجمع والتقريب والأخطاء
وقد يصل الحقل أيضا بالاسم البديل terms. يتحقق المعالج من أن n موجود ومنته وعدد صحيح وداخل ذلك المجال قبل أن يبدأ أي جمع. عند النجاح يحوي المتن n وsum وformula.
وإن احتجت كسرا دقيقا مختزلا، بسطا على مقام، فهذه القدرة ليست نظام جبر حاسوبي؛ إنها تعيد مجموعا جزئيا عشريا فقط. اقرنها بحسابك الكسري عندما يتطلب البرهان كسورا، واستعمل هذه النهاية عندما تحتاج قيمة H_n عددية سريعة قابلة للتدقيق في الأوراق أو التمارين أو أتمتة قصيرة. ويعيد حقل formula صياغة H_n في سلسلة مقروءة كي تعرض واجهة المتسلسلة بجانب الرقم دون شفرة تنسيق إضافية.
أين تثبت أداة المجموع الجزئي التوافقي جدواها
تستعمل الصفوف الهواية وحصص الإرشاد حاسبة المتسلسلة التوافقية كي يستكشف المتعلمون معدلات النمو دون كتابة أول حلقة تكرار لهم تحت ضغط الوقت. وتستعمل مواقع تمارين البرمجة والتحضير للمقابلات H_n لمناقشة حدس الترتيب الكبير: فمجموع واحد على k هو Theta للمقدار log n، وهذا يفسر لماذا تبدو بعض الخوارزميات المتداخلة خطية تقريبا مع أنها ما تزال تتجاوز العوامل الثابتة. ويضمّن مصممو الألغاز أحيانا بادئات توافقية عندما يريدون جدول نقاط ينمو ببطء أو منحنى عوائد متناقصة أو عددا متوقعا من المحاولات على نمط القسائم دون سحب مكتبة رياضيات كاملة.
ولا يستهلك التحقق الفاشل رصيدا. قيّد n، وأبق الطلب صغيرا، فتحصل على رقم قابل للاستنساخ تثبّته في الاختبارات والدفاتر وعمّال الحافة.
حالات الاستخدام
فحوص الصف والإرشاد
دع الطلاب يطلبون H_n لقيم n متزايدة ويراقبوا النمو اللوغاريتمي البطيء دون أن يكتبوا حلقة الجمع بأنفسهم.
تمارين البرمجة وملاحظات التعقيد
أظهر أن جمع واحد على k يتبع log n عند شرح الحلقات المتداخلة أو مخططات جامع القسائم أو الحدود التوافقية في ملاحظات التحليل.
نقاط الألغاز وحالات الاختبار
ثبّت H_n في جدول لعبة هواية أو ورقة تمارين أو اختبار تكامل عندما تحتاج مجموعا جزئيا توافقيا مستقرا كثابت مرجعي.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا لم يكن n عددا صحيحا موجبا؟
تُعرَّف الأعداد التوافقية للأعداد الصحيحة الموجبة فقط، لذا يُرفض الصفر والسالب والكسور وn الغائب دون احتساب.
كيف يُقرَّب المجموع؟
تُجمع المقلوبات من 1/n حتى 1 ويُقرَّب الناتج إلى اثنتي عشرة منزلة عشرية ليبقى قابلا للاستنساخ عبر بيئات التشغيل. وليس كسرا نسبيا دقيقا.
هل يوجد حد أقصى لـ n يمكن إرساله؟
نعم. يجب ألا يتجاوز n مليونا واحدا كي يبقى زمن التشغيل محدودا.
هل تتقارب المتسلسلة التوافقية؟
لا. تقترب حدودها من الصفر، لكن المجموع يواصل الصعود بلا حد نهائي، وينمو تقريبًا بسرعة اللوغاريتم الطبيعي لعدد الحدود.
كم مجموع الحدود العشرة الأولى من المتسلسلة التوافقية؟
نحو 2.928968253968، أي أقل بقليل من ثلاثة. يرتفع مجموع واحد زائد نصف زائد ثلث حتى العُشر ببطء، ولهذا تبدو المتسلسلة هادئة مع أنها تنمو بلا نهاية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/hobby/harmonic-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 10
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "hobby.harmonic_series",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_n | 1000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
إذا غاب n أو لم يكن عددا صحيحا أو لم يكن موجبا قطعا، تفشل المهمة بالرمز invalid_input ولا تُحاسب.
عقد الإدخال وترتيب الجمع والتقريب والأخطاء
أرسل عبر POST متن JSON يحوي حقلا واحدا مطلوبا هو n: عددا صحيحا موجبا أكبر من أو يساوي واحدا وأصغر من أو يساوي مليونا. أما القيم دون واحد، وغير الصحيحة، والحقول الغائبة، والسلاسل الفارغة، وn فوق الحد الأقصى المنشور فتفشل بالرمز invalid_input مع تسمية الحقل، ولا تُحاسب تلك الإخفاقات. واثنا عشر رقما أكثر من كاف للفحوص الصفية وتقارير الألغاز وأكثر التقديرات الهندسية، مع بقائه رقم JSON نظيفا.
أين تثبت أداة المجموع الجزئي التوافقي جدواها
ولأن التنفيذ parse نقي من tier A، يكلف كل استدعاء ناجح سعر الأساس المنشور $0.002 دون رموز نموذج ودون شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
ماذا تعيد أداة المتسلسلة التوافقية هذه؟
تعيد المجموع الجزئي رقم n وهو H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n كعدد عشري، مع n وسلسلة صيغة قصيرة. أرسل عددا صحيحا موجبا n.
كم تكلفة استدعاء المجموع الجزئي للمتسلسلة التوافقية؟
أداة المتصفح مجانية. وتستخدم طلبات API رصيدا مدفوعا مسبقا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُحاسب المدخلات غير الصالحة.