Coeficientes de Bézout: enteros x, y con a·x + b·y = mcd
Para 240 y 46 el máximo común divisor es 2, y 240 × (−9) + 46 × 47 da 2, así que x vale −9 e y vale 47. Escriba dos enteros, no ambos cero, y obtenga el mcd y un par válido de coeficientes. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- A
- 240
- B
- 46
- Gcd
- 2
- X
- -9
- Y
- 47
- Verificación
- 2
La identidad de Bézout afirma que, para cualesquiera enteros a y b que no sean ambos cero, existen enteros x e y tales que a por x más b por y es igual al máximo común divisor de a y b. Esos coeficientes son el núcleo constructivo de las ecuaciones diofánticas lineales, de las inversas modulares cuando el mcd es uno, y de las demostraciones escolares de que dos números son coprimos.
Qué afirma la identidad de Bézout y por qué importan los coeficientes
Todo par de enteros que no sea ambos cero tiene un máximo común divisor no negativo bien definido g. La identidad de Bézout va más allá: garantiza enteros x e y para los que a por x más b por y es igual a ese g. La demostración de existencia es constructiva y sigue el proceso de restos euclidianos.
La división ordinaria sustituye repetidamente un par por el resto siguiente hasta que aparece el cero; el último resto no nulo es el mcd. Si se rastrea cómo cada resto se escribe como combinación lineal entera de las entradas originales, se obtienen los coeficientes al terminar. Los textos escolares suelen retro-sustituir cocientes de la tabla de divisiones; el código de producción suele actualizar dos pares de coeficientes en un solo bucle sin guardar la pila de restos.
Ambos enfoques calculan el mismo objeto matemático. Los coeficientes no son únicos: si un par funciona, también lo hace todo par desplazado por múltiplos enteros de b sobre g y de a sobre g con signos opuestos. Esta herramienta devuelve una solución particular del algoritmo iterativo, siempre con un mcd no negativo, de modo que scripts y correctores puedan compararla con una convención fija sin rederivar el conjunto general de soluciones.
Cómo invocar la calculadora y leer la respuesta
Envíe los enteros a y b. El par cero y cero también se rechaza, porque el mcd de cero y cero no está definido y ningún coeficiente produce una ecuación de Bézout con sentido.
En caso de éxito la respuesta incluye a y b normalizados, el mcd, x, y, un objeto bezout anidado con los mismos coeficientes, un check numérico igual a a por x más b por y, una cadena de ecuación del estilo doscientos cuarenta por menos nueve más cuarenta y seis por cuarenta y siete es igual a dos, y un campo identity con la relación general.
Comprobaciones típicas: para doscientos cuarenta y cuarenta y seis el mcd es dos con una solución válida x igual a menos nueve e y igual a cuarenta y siete; para un par primo con mcd uno los coeficientes dan la inversa modular de a módulo b tras reducir x. Los casos con un cero y un compañero no nulo dan mcd igual al valor absoluto de la entrada no nula y un patrón trivial de coeficientes.
Dónde aparecen en la práctica los coeficientes de Bézout
Los programadores de concursos resuelven a por x más b por y igual a c calculando primero el mcd y un par base de Bézout, y después escalando y parametrizando la solución general cuando el mcd divide a c. Los estudiantes de criptografía recuperan inversas modulares para ejemplos didácticos de RSA y cifrados afines cuando el mcd de a y m es uno, leyendo el coeficiente de a tras reducirlo módulo m.
Los docentes piden demostraciones constructivas de que dos enteros son coprimos y necesitan un oráculo determinista que muestre la combinación lineal, no solo un bit de coprimalidad. Ingenieros de datos y de sistemas a veces requieren combinaciones lineales explícitas al conciliar calendarios periódicos o aritmética de pasos. Use la herramienta del navegador para revisar deberes con rapidez y automatice después el mismo contrato cuando su servicio necesite comprobaciones diofánticas masivas.
Si solo necesita el mcd sin coeficientes, esta página también cubre esa necesidad y, a la vez, enseña el resultado constructivo de Bézout que sustenta los temarios de teoría de números y las preguntas de entrevista sobre el algoritmo de Euclides extendido.
Qué puede hacer con ella
Ecuaciones diofánticas lineales
Obtenga una solución particular (x, y) de a*x + b*y = gcd y luego escale y parametrice al resolver a*x + b*y = c en concursos o deberes.
Bloque base de la inversa modular
Cuando gcd(a, m) = 1, reduzca el coeficiente de Bézout de a módulo m para recuperar una inversa modular en ejercicios de cripto y teoría de números.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la identidad de Bézout?
Afirma que, para enteros a y b no ambos cero, existen enteros x e y (coeficientes de Bézout) tales que a*x + b*y es igual a gcd(a, b). Esta calculadora devuelve un par de ese tipo junto con el mcd.
¿Son únicos los coeficientes?
No. Si (x, y) funciona, también lo hace (x + k*(b/g), y - k*(a/g)) para cualquier entero k. Esta herramienta devuelve una solución particular del algoritmo iterativo.
¿Qué rango de enteros se admite?
Cada uno de a y b debe ser un entero con valor absoluto como máximo 9007199254740991 (Number.MAX_SAFE_INTEGER).
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratis y se ejecuta en local.
¿Cómo se obtiene un inverso modular con los coeficientes de Bézout?
Cuando el mcd de a y b es 1, la ecuación queda a·x + b·y igual a 1. Al reducir x módulo b obtiene el inverso de a módulo b, el número que multiplicado por a deja resto 1.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/bezout-identity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":240,"b":46}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/bezout-identity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 240,
"b": 46
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/bezout-identity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 240,
"b": 46
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/bezout-identity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":240,"b":46}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":240,"b":46}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/bezout-identity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 240,
"b": 46
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.bezout_identity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta capacidad recibe dos enteros, rechaza el caso indefinido en que ambos son cero y devuelve un JSON estable con el mcd, el par de Bézout x e y, una verificación numérica, una ecuación legible y una etiqueta breve de la identidad que usted puede pegar en notas o en pruebas automatizadas.
Cómo invocar la calculadora y leer la respuesta
Se aceptan los alias first o m para a, y second o n para b, pensados para clientes de formularios. Los no enteros, los campos vacíos y los valores fuera del máximo absoluto de enteros seguros de la plataforma se rechazan con invalid_input y no se cobran.
Dónde aparecen en la práctica los coeficientes de Bézout
Como la capacidad es un motor parse puro, no hay deriva de modelo, ni dependencia de red ni estado almacenado: el mismo par produce siempre el mismo JSON bajo una convención fija de coeficientes. El precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem correcto; la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Docencia y comprobaciones automáticas
Muestre a los alumnos la identidad a*x + b*y = gcd con un campo equation estable en JSON e integre el mismo contrato en correctores o fixtures de CI.
Preguntas técnicas
¿Por qué se rechazan a y b ambos cero?
gcd(0, 0) no está definido. No hay un máximo común divisor positivo, así que la identidad de Bézout no aplica; la API responde invalid_input y no cobra.