Interpolação de círculo máximo: lat/lon intermediários entre dois pontos

A interpolação de círculo máximo responde a uma pergunta simples de navegação: dados dois pontos fixos de latitude e longitude e uma fração entre zero e um, onde está o ponto intermediário situado a essa fração do arco esférico mais curto que os liga? Misturar linearmente latitude e longitude de forma independente é errado, porque os meridianos convergem e as longitudes dão a volta; a construção correta trata a Terra como uma esfera, converte cada extremidade em um vetor unitário e aplica a interpolação linear esférica (slerp), de modo que cada amostra intermediária fica sobre o único círculo máximo que passa pelos dois pontos. A fração zero retorna o início, a fração um retorna o fim e um meio retorna o ponto médio geodésico.

Como os pontos intermediários do círculo máximo são calculados

Converta as duas extremidades de graus decimais para radianos e forme os vetores unitários n1 e n2 na esfera. O ângulo central δ entre eles decorre da lei esférica dos cossenos: cos δ é igual a sin φ1 sin φ2 mais cos φ1 cos φ2 cos(λ2 − λ1), com um corte no intervalo de menos um a mais um antes do arco cosseno, para que o ruído de ponto flutuante nunca saia do domínio. Quando sin δ é praticamente zero e os pontos coincidem, toda fração retorna a coordenada inicial.

Caso contrário, calculam-se os pesos clássicos do slerp: A igual a sin de um menos f vezes δ sobre sin δ, e B igual a sin de f vezes δ sobre sin δ. O vetor unitário intermediário é A vezes n1 mais B vezes n2; a latitude é o arco tangente de z sobre a hipotenusa horizontal, e a longitude é o arco tangente de dois argumentos de y sobre x, depois dobrada no intervalo semiaberto em torno do antimeridiano.

Onde a interpolação de círculo máximo aparece no trabalho real

O treinamento de aviação e marítimo vive propondo problemas de posições intermediárias ao longo de rotas de círculo máximo, e os alunos precisam de um oráculo confiável que retorne lat/lon na fração f sem compasso de ponta seca. Equipes de GIS e logística densificam longos trechos aéreos ou de navegação em amostras uniformemente espaçadas para mapas de calor, estimativas de combustível e corredores de geocerca antes de adotar bibliotecas completas de elipsoide.

Planejamento de busca e salvamento, guias de trilha e cursos de orientação posicionam pontos de controle por fração ao longo de um arco planejado entre duas posições conhecidas. Motores de jogos e simulação animam entidades ao longo de rotas esféricas usando a mesma forma fechada, para que cliente e servidor permaneçam alinhados sem embutir um pacote geodésico pesado. Cartógrafos que criam arcos animados em mapas web amostram pontos intermediários em frações regulares para desenhar polilinhas geodésicas suaves que não cortam a Terra numa projeção plana.

Se mais tarde você precisar do problema direto do destino a partir de rumo e distância, da navegação por loxodromia, das coordenadas do antípoda ou das geodésicas Vincenty completas no elipsoide WGS84, trate-os como intenções de busca e páginas de destino separadas, em vez de sobrecarregar esta página de interpolação de círculo máximo.