Rechner für trennbare Differentialgleichungen

Dieser Rechner für trennbare Differentialgleichungen löst die Standardgleichung für exponentielles Wachstum oder Abklingen dy/dx = ky. Geben Sie die Konstante k, die Anfangsbedingung y(x0) = y0 und den Punkt ein, an dem Sie die Lösung auswerten möchten. Der Rechner trennt die Variablen, bestimmt die allgemeine Exponentialfamilie, wendet die Anfangsbedingung an und liefert am gewünschten Punkt einen stabilen Zahlenwert. Damit können Sie Aufgaben prüfen und Größen modellieren, deren momentane Änderungsrate proportional zu ihrem aktuellen Wert ist.

Erkennen Sie die trennbare Standardgleichung

Der Rechner ist für die verbreitete Gleichung dy/dx = ky vorgesehen, wobei k eine feste reelle Konstante ist. Sie tritt immer dann auf, wenn sich eine Größe mit einer zu ihrem aktuellen Wert proportionalen Rate ändert. Unbegrenztes Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, stetig verzinste Guthaben, Prozesse erster Ordnung und idealisierte Abkühlungsdifferenzen sind typische Beispiele.

Die Gleichung ist trennbar, weil alle Faktoren mit y auf eine Seite und alle Faktoren mit x auf die andere gebracht werden können. Für ein von null verschiedenes y ergibt sich dy/y = k dx. Durch diese gezielte Form ist das Ergebnis exakt und deterministisch, nicht nur eine numerische Näherung in Schritten.

Geben Sie k direkt an, einschließlich eines negativen Werts für Abklingen oder null für eine konstante Lösung. Anschließend bilden x0 und y0 den bekannten Punkt der Lösungskurve. Beliebige Ableitungsausdrücke, variable Koeffizienten, Störterme oder erst nach komplizierter Substitution passende Gleichungen werden nicht unterstützt.

Von der Trennung zur speziellen Lösung

Die Integration der getrennten Gleichung ergibt ln|y| = kx zuzüglich einer Integrationskonstante. Beim Exponenzieren gehen das Vorzeichen und der positive Exponentialfaktor in einer einzigen beliebigen Konstante C auf, sodass die allgemeine Familie y = C exp(kx) lautet. Mit y(x0) = y0 folgt C = y0 exp(-kx0).

Übersichtlich lässt sich dasselbe Ergebnis als y(x) = y0 exp(k(x - x0)) schreiben; dies ist die vom Werkzeug ausgegebene spezielle Lösung. Die verschobene Form ist praktisch, weil beim Einsetzen von x0 der Exponentialfaktor sofort eins wird und y0 zurückgibt. Außerdem muss kein möglicherweise unhandlicher Wert für C separat dargestellt werden.

Der Rechner zeigt Variablentrennung, allgemeine Familie, spezielle Formel und Auswertung, damit Sie die Herleitung nachvollziehen können. Die Berechnung nutzt JavaScript-Gleitkommaarithmetik und rundet erst die Anzeige auf die gewählte Genauigkeit.

Werten Sie die Lösung aus und deuten Sie das Ergebnis

Wählen Sie den Zielwert x unabhängig vom Anfangspunkt; er darf vor, bei oder nach x0 liegen. Der Rechner ermittelt den dimensionslosen Exponenten k(x - x0), berechnet den Exponentialwert, multipliziert mit y0 und rundet die Anzeige auf null bis fünfzehn Nachkommastellen. Bei positivem k wächst der Betrag mit zunehmendem x, bei negativem k klingt er gegen null ab.

Eine Rückwärtsbewegung von x0 kehrt diese Tendenzen um. Das Vorzeichen einer von null verschiedenen Lösung stammt von y0, da ein Exponentialfaktor stets positiv ist; das Modell überquert daher nie die Nulllinie. Achten Sie auf konsistente Einheiten: Wird x in Stunden gemessen, muss k die Einheit inverse Stunden haben, während y dieselbe Einheit wie y0 behält.

Sehr große Exponenten können den endlichen Zahlenbereich überschreiten; solche Fälle weist der Rechner zurück, statt irreführend Unendlich auszugeben. Nutzen Sie die exakte Formel zur Analyse und den berechneten Wert für eine konkrete Prognose oder Kontrolle. Beliebige trennbare Funktionen f(x)g(y) erfordern zusätzliche symbolische Integration und liegen außerhalb des bewusst begrenzten Umfangs.