Análise dimensional

A análise dimensional é o primeiro filtro que toda equação de física e engenharia deve passar: os dois membros precisam compartilhar as mesmas dimensões de base do SI, ou a fórmula não pode estar certa. Este verificador aceita um produto de unidades do lado esquerdo e outro do direito, expande cada símbolo nos sete expoentes de base do SI — massa, comprimento, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa — e informa se esses vetores coincidem. Use-o para flagrar um fator de tempo omitido, uma força no lugar de uma energia ou uma identidade de exercício que parece algébrica, mas é dimensionalmente impossível.

O que a consistência dimensional significa nas unidades de base do SI

Toda grandeza mecânica, elétrica, térmica ou óptica pode ser escrita como produto das sete dimensões de base do SI: massa M, comprimento L, tempo T, corrente elétrica I, temperatura termodinâmica Θ, quantidade de substância N e intensidade luminosa J. Força é M L T^-2, energia é M L^2 T^-2, pressão é M L^-1 T^-2, e um número puro, um radiano ou um esferorradiano é o vetor adimensional de zeros.

Uma equação é dimensionalmente consistente só quando o vetor de expoentes do lado esquerdo iguala, componente a componente, o do lado direito. Esse teste não prova que a equação é verdadeira — um fator dois faltando ainda tem as dimensões certas —, mas prova que ela não pode ser verdadeira se os vetores diferem.

A segunda lei de Newton em forma de unidades é o exemplo clássico: o newton N se expande para kg·m·s^-2, o mesmo vetor de 7 do produto kg * m / s^2, então F = m a é dimensionalmente lícita. Escrever F = m v emparelharia M L T^-2 com M L T^-1 e falharia na hora. Você informa as unidades de cada lado.

Prefixos SI nunca mudam a dimensão, então kN e N coincidem; um milijoule ainda tem dimensões de energia. Quando precisar de um conversor, use uma capacidade de conversão; quando precisar saber se uma identidade poderia estar certa, use este verificador.

Contrato de entrada, símbolos suportados e como o analisador lê um produto

Cada string é um produto de unidades, não uma equação algébrica completa; não coloque sinal de igual em nenhum dos campos. A multiplicação pode ser escrita com *, ·, ×, um ponto de livro entre símbolos (kg.m.s-2) ou justaposição com espaços (kg m / s^2). A divisão usa / .

Potências inteiras usam ^, ** , superíndices Unicode ou um inteiro colado ao símbolo (m2 para metros quadrados, s-2 para segundos inversos). Parênteses agrupam fatores, de modo que (kg*m)/s^2 é o mesmo que kg*m/s^2. Coeficientes numéricos são adimensionais e ignorados na comparação, então 2*N tem o mesmo vetor que N.

O catálogo inclui as unidades de base do SI kg, g, m, s, A, K, mol, cd; as derivadas comuns N, Pa, J, W, C, V, F, ohm, Ω, S, Wb, T, H, Hz, lm, lx, Bq, Gy, Sv, kat, rad, sr; extras como min, h, L, eV, cal, bar, atm, torr, psi, dyn, erg, hp, lbf, ft, in, lb; prefixos SI de yocto a yotta, inclusive µ e u para micro; e nomes completos como newton, joule, watt, pascal, volt, ampere.

Acertos exatos da tabela vencem a separação de prefixo, então min é um minuto de tempo e não um mili-polegada, e kg é a base de massa e não um enigma de prefixo. Cada lado tem teto de 400 caracteres e 64 tokens.

Quando vale a pena conferir as dimensões

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de análise dimensional para que o aluno confira a lei de Newton, a identidade da energia cinética, a lei de Ohm ou a lei dos gases ideais em forma de unidades, sem expandir à mão cada símbolo derivado. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque F = m v como errada e F = m a como certa, e que rejeite uma unidade inventada em vez de tratá-la em silêncio como adimensional.

Cadernos de engenharia e scripts de laboratório muitas vezes montam uma grandeza derivada a partir de vários sensores — uma pressão a partir de uma força e uma área, uma potência a partir de uma tensão e uma corrente — e uma checagem em uma chamada de Pa versus N/m^2 ou W versus J/s pega um canal invertido antes de publicar o gráfico. Validação falha não consome saldo.

Mantenha cada lado curto, fixe os inteiros de expoente nos testes e você obtém um veredito de consistência reproduzível para dever de casa, plugins CAD e workers de borda, sem levantar um sistema de álgebra computacional próprio.