ForHosting KIT · الرياضيات

حساب عدد الجذور الأولية بترديد n

بترديد 18 يوجد 2 من الجذور الأولية بالضبط، وهي قيمة تابع أويلر مطبقًا مرتين. أدخل المقياس لترى عدد مولداته، أو تنبيهًا واضحًا عندما لا يملك أيًا منها كما في حالة 8. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 18

تحصل على

المقياس: 18
عدد الجذور البدائية: 2

تحدد هذه الحاسبة ما إذا كان المقياس يقبل جذورًا أولية، ثم تعيد عددها الدقيق عند وجودها. تساوي النتيجة دالة أويلر للمقياس بعد تطبيق دالة أويلر عليه، وتكتب phi(phi(n)). تشمل الحاسبة جميع فئات المقاييس المؤهلة ولا تفترض أن المدخل عدد أولي. وإذا كان المقياس من فئة لا تملك جذورًا أولية، فإنها تعرض خطأ إدخال واضحًا بدلًا من إعادة صفر مضلل.

ما الذي يمثله العدد الناتج

الجذر الأولي بترديد n هو فئة بواقٍ تولد قواها المتتابعة جميع فئات البواقي القابلة للعكس بترديد n. وبلغة نظرية الزمر، فهو مولد زمرة الأعداد الصحيحة الضربية بترديد n. تجيب هذه الأداة عن سؤال محدد: كم فئة بواقٍ متميزة تولد هذه الزمرة؟

وهي لا تسرد المولدات ولا تبحث عن أصغر مولد. عندما يوجد جذر أولي، تكون الزمرة الضربية دورية وعدد عناصرها phi(n). وللزمرة الدورية ذات الرتبة phi(n) عدد من المولدات يساوي تمامًا phi(phi(n))، وهو العدد الذي تعيده الحاسبة.

فمثلًا، تشكل البواقي القابلة للعكس بترديد 18 زمرة دورية رتبتها 6، وبما أن phi(6) يساوي 2، فهناك جذران أوليان. يتعلق العد بفئات البواقي بترديد n لا بالممثلين الصحيحين اعتباطًا؛ فالقيم التي يختلف بعضها عن بعض بمضاعف n تمثل الجذر نفسه. لذلك تفيد النتيجة في البراهين والتمارين والخوارزميات التي يكون فيها حجم مجموعة المولدات أهم من هوية عناصرها المفردة.

المقاييس التي تملك جذورًا أولية

لا توجد جذور أولية لكل مقياس موجب. ينص التصنيف الكامل على أنها توجد فقط عندما يكون n مساويًا 2 أو 4 أو قوة p^k لعدد أولي فردي أو ضعف قوة عدد أولي فردي، أي 2p^k. تحلل الحاسبة المقياس المدخل إلى عوامله ثم تطبق هذه المبرهنة قبل حساب العدد.

وهذه الخطوة ضرورية لأن حساب phi(phi(n)) لمقياس غير مؤهل يعطي عددًا موجبًا رغم عدم وجود أي مولد. فمثلًا، تساوي phi(8) العدد 4 وتساوي phi(4) العدد 2، لكن لا يوجد جذر أولي بترديد 8؛ ومن ثم تكون إعادة 2 خطأ رياضيًا. لذلك ترفض هذه القدرة ذلك المقياس بخطأ صريح.

تدخل المقاييس الأولية الأكبر من اثنين ضمن الحالة الخاصة p^1، كما تقبل أمثلة مركبة مثل 9 و14 و18 و25. أما 8 و12 و15 و20 فلا تقبل. يبقى اختبار التصنيف منفصلًا عن صيغة العد حتى تمثل النتيجة دائمًا مجموعة موجودة فعلًا من الجذور الأولية.

كيفية الاستخدام وتفسير النتيجة

أدخل عددًا صحيحًا n بين 2 و1,000,000,000,000. يجب أن يكون المدخل عددًا صحيحًا رقميًا، لا سلسلة عشرية ولا كسرًا ولا تقريبًا بالصيغة العلمية ولا قيمة سالبة ولا عدد JavaScript صحيحًا غير آمن. يضمن الحد الأعلى بقاء التحليل محدودًا ومتوقعًا، مع تغطية نطاق واسع من الحسابات التعليمية والعملية.

تستخدم الخوارزمية داخليًا القسمة التجريبية الحتمية لاستخراج بنية القوى الأولية، ثم تطبق مبرهنة الوجود وتحسب phi(n) من العوامل الأولية المختلفة، وبعدها تحسب phi(phi(n)). لا تجري أي طلب شبكي أو بحث عشوائي، ولذلك تعطي المدخلات المتطابقة مخرجات متطابقة دائمًا.

حالات الاستخدام

التحقق من تمرين في نظرية الأعداد

تحققوا من العدد المتوقع للمولدات قبل تعداد الجذور الأولية يدويًا.

تقدير حجم البحث عن المولدات

حددوا عدد فئات البواقي الصحيحة التي ينبغي أن يجدها بحث شامل عن الجذور الأولية.

التحقق من أهلية المقياس

ارفضوا مقياسًا زمرته الضربية غير دورية قبل أن تفترض خوارزمية لاحقة وجود جذر أولي.

الأسئلة الشائعة

ما الصيغة التي تستخدمها الحاسبة؟

تعيد الحاسبة phi(phi(n)) للمقياس الذي يقبل جذورًا أولية، حيث تمثل phi دالة أويلر.

لماذا تعيد الأداة خطأ بدلًا من الصفر؟

يميز العقد بين الحالة الرياضية غير المؤهلة والعدد الصحيح. لذلك يبلغ عن المقياس الذي لا يملك جذورًا أولية بصفته إدخالًا غير صالح.

ما المقاييس التي تقبل جذورًا أولية؟

هي تحديدًا 2 و4 وقوى العدد الأولي الفردي p^k وضعف تلك القوى، أي 2p^k.

هل تسرد الأداة الجذور الأولية؟

لا. فهي تعيد فقط عدد فئات البواقي التي تعد جذورًا أولية بترديد n.

هل تدعم الأداة المقاييس الأولية؟

نعم. لكل مقياس أولي جذور أولية، بما في ذلك 2؛ والأعداد الأولية الفردية حالات من قوى الأعداد الأولية الفردية.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":18}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 18
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 18
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":18}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":18}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 18
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.count_primitive_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

كيفية الاستخدام وتفسير النتيجة

تكرر الاستجابة القيمة في الحقل modulus وتقدم العدد الصحيح الدقيق في primitive_root_count. ينبغي فهم استجابة invalid_input التي تفيد بعدم وجود جذور أولية بوصفها نتيجة رياضية تخص المقياس، لا عطلًا مؤقتًا. إذا احتجتم إلى الجذور نفسها، فاستخدموا أداة للبحث أو التعداد؛ فهذا endpoint يعيد العدد فقط عمدًا. تبلغ تكلفة كل طلب API مقدار $0.002 وتستخدم له الحسابات الدقيقة نفسها.

أسئلة تقنية

ما تكلفة طلب API؟

تبلغ تكلفة كل طلب API مقدار $0.002.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما الذي يمثله العدد الناتج

المقاييس التي تملك جذورًا أولية

كيفية الاستخدام وتفسير النتيجة

حالات الاستخدام

التحقق من تمرين في نظرية الأعداد

تقدير حجم البحث عن المولدات

التحقق من أهلية المقياس

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيفية الاستخدام وتفسير النتيجة

أسئلة تقنية

شكرًا