Contare le radici primitive modulo n
Modulo 18 esistono esattamente 2 radici primitive, il valore della funzione di Eulero applicata due volte. Inserisca un modulo e veda quanti generatori ha, oppure un avviso chiaro quando non ne ha, come accade con 8. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 18
- Modulo
- 18
- Numero di radici primitive
- 2
Questo contatore stabilisce se un modulo ammette radici primitive e, in caso affermativo, ne restituisce il numero esatto. Il risultato è la funzione phi di Eulero applicata alla funzione phi del modulo, cioè phi(phi(n)). Il calcolatore gestisce l'intera famiglia dei moduli idonei senza presumere che l'input sia primo. Se il modulo appartiene a una classe priva di radici primitive, segnala chiaramente un input non valido invece di restituire uno zero fuorviante.
Che cosa indica il conteggio
Una radice primitiva modulo n è una classe di resti le cui potenze successive generano tutte le classi invertibili modulo n. Nel linguaggio dei gruppi, è un generatore del gruppo moltiplicativo degli interi modulo n. Questo strumento risponde a una domanda precisa: quante classi di resti distinte generano tale gruppo?
Non elenca i generatori e non cerca quello minimo. Quando esiste una radice primitiva, il gruppo moltiplicativo è ciclico e contiene phi(n) elementi. Un gruppo ciclico di ordine phi(n) possiede esattamente phi(phi(n)) generatori, ossia il valore restituito.
Per esempio, modulo 18 i resti invertibili formano un gruppo ciclico di ordine 6 e phi(6) vale 2, quindi esistono due radici primitive. Il conteggio riguarda classi modulo n, non rappresentanti interi arbitrari: valori che differiscono per un multiplo di n descrivono la stessa radice. Questa distinzione rende il risultato utile nelle dimostrazioni, negli esercizi e negli algoritmi in cui conta la dimensione dell'insieme dei generatori più dell'identità dei singoli elementi.
Quali moduli hanno radici primitive
Le radici primitive non esistono per ogni modulo positivo. La classificazione completa afferma che esistono soltanto quando n è 2, 4, una potenza p^k di un primo dispari oppure il doppio di tale potenza, 2p^k. Il calcolatore fattorizza il modulo fornito e applica questo teorema prima di calcolare il numero.
La verifica è fondamentale: valutare phi(phi(n)) per un modulo non idoneo produce un numero positivo anche se non esiste alcun generatore. Per esempio, phi(8) è 4 e phi(4) è 2, ma non esiste una radice primitiva modulo 8; restituire 2 sarebbe matematicamente errato. Questa capacità rifiuta quindi quel modulo con un errore esplicito.
I moduli primi maggiori di due rientrano nel caso particolare p^1, mentre sono ammessi anche esempi composti come 9, 14, 18 e 25. Non sono invece ammessi 8, 12, 15 e 20. Il controllo di classificazione resta separato dalla formula di conteggio, affinché l'output rappresenti sempre un insieme effettivo di radici primitive.
Come usare e interpretare il risultato
Invii un intero n compreso tra 2 e 1,000,000,000,000. L'input deve essere un intero numerico, non una stringa decimale, una frazione, un'approssimazione scientifica, un valore negativo o un intero JavaScript non sicuro. Il limite superiore mantiene la fattorizzazione finita e prevedibile, coprendo comunque molti calcoli didattici e pratici.
L'algoritmo usa la divisione per tentativi deterministica per ricavare la struttura delle potenze prime, applica il teorema di esistenza, calcola phi(n) dai fattori primi distinti e poi phi(phi(n)). Non usa la rete né ricerche casuali, quindi input identici producono sempre output identici.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di teoria dei numeri
Controlli il numero previsto di generatori prima di enumerare manualmente le radici primitive.
Dimensionare una ricerca di generatori
Determini quante classi di resti valide dovrebbe trovare una ricerca esaustiva di radici primitive.
Convalidare un modulo idoneo
Rifiuti un modulo il cui gruppo moltiplicativo non sia ciclico prima che un altro algoritmo presuma l'esistenza di una radice primitiva.
Domande frequenti
Quale formula usa il calcolatore?
Per un modulo che ammette radici primitive, restituisce phi(phi(n)), dove phi è la funzione phi di Eulero.
Perché lo strumento restituisce un errore invece di zero?
Il contratto distingue un caso matematico non idoneo da un conteggio valido. Un modulo senza radici primitive viene quindi segnalato come input non valido.
Quali moduli ammettono radici primitive?
Esattamente 2, 4, le potenze p^k di un primo dispari e il doppio di tali potenze, 2p^k.
Lo strumento elenca le radici primitive?
No. Restituisce soltanto quante classi di resti sono radici primitive modulo n.
I moduli primi sono supportati?
Sì. Ogni modulo primo ha radici primitive, incluso 2; i primi dispari sono casi di potenze di primi dispari.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":18}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", {
method: "POST",
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":18}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/count-primitive-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 18
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.count_primitive_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come usare e interpretare il risultato
La risposta lo ripete nel campo modulus e fornisce il numero intero esatto in primitive_root_count. Una risposta invalid_input che segnala l'assenza di radici primitive è una conclusione matematica sul modulo, non un guasto temporaneo. Se Le servono le radici vere e proprie, usi uno strumento di ricerca o enumerazione; questo endpoint restituisce intenzionalmente solo la cardinalità. Ogni richiesta API costa $0.002 e usa la medesima aritmetica esatta.
Domande tecniche
Quanto costa una richiesta API?
Ogni richiesta API costa $0.002.