حاسبة طريقة أويلر لحل المعادلات التفاضلية
طريقة أويلر في جدول واضح: المعادلة y' = x + y بدءاً من y(0) = 1 وبخطوة طولها 0.1 تصل إلى نحو 1.5282 بعد أربع خطوات. ويعرض كل صف قيمة x وy والميل المستخدم. مجاناً في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تقرّب حاسبة طريقة أويلر هذه حل مسألة قيمة ابتدائية من الرتبة الأولى مكتوبة على الصورة y' = f(x,y). أدخلوا المشتقة والنقطة الابتدائية وحجم خطوة ثابتاً غير صفري وعدد الخطوات. تقيّم الأداة الميل عند كل نقطة حالية، ثم تطبق تحديث أويلر وتعرض جميع القيم التقريبية في جدول واضح. وهي تدعم التقدم في الاتجاهين والدوال الرياضية الشائعة، ولذلك تناسب التمارين والتحقق السريع ومسارات الحساب العددي القابلة لإعادة الإنتاج.
صفوا مسألة القيمة الابتدائية بدقة
تبدأ طريقة أويلر من نقطة معلومة، ولذلك أدخلوا x0 وy0 مع المشتقة f(x,y). اكتبوا المشتقة في صورة تعبير يستخدم x وy والعمليات الحسابية والأقواس والأسس والدوال المدعومة مثل sin وcos وexp وlog وsqrt وabs. فمثلاً، في المسألة y' = x + y مع y(0) = 1، استخدموا x + y للمشتقة، و0 للقيمة x0، و1 للقيمة y0.
ويمكن أيضاً إبقاء البادئة y' = أو dy/dx = في التعبير. يجب كتابة الضرب صراحة: اكتبوا 2*x بدلاً من 2x. ويتاح الثابتان pi وe.
لا يقبل المحلل إلا الصياغة الرياضية ولا ينفذ أي شيفرة. قبل بدء الحساب، تحققوا من أن المعادلة التفاضلية مكتوبة بصورة صريحة ومن الرتبة الأولى. لا يمكن تقييم معادلة بوصفها f(x,y) إذا ظلت y' في طرفيها، أو احتوت مشتقة ثانية، أو تضمنت معاملاً مجهولاً لم تُسند إليه قيمة.
يمكن مراعاة الوحدات من الناحية المفاهيمية، لكن يجب أن تستخدم جميع المدخلات العددية نظام وحدات متسقاً، لأن الحاسبة تتعامل معها كأعداد مجردة.
اختاروا اتجاه الخطوة وراجعوا كل تحديث
عيّنوا h لتكون المسافة الثابتة بين قيم x المتتالية، وحددوا عدد التحديثات المطلوب تنفيذها. تنقل h الموجبة الحساب نحو قيم x الأكبر، بينما تعيده h السالبة نحو القيم الأصغر. تشمل النقاط الناتجة النقطة الابتدائية بوصفها الخطوة صفر، ثم صفاً لكل تحديث.
ويسجل كل صف جديد أيضاً الميل المأخوذ عند النقطة السابقة، حتى تتمكنوا من مراجعة الحساب سطراً بسطر. تحتفظ عملية التكرار داخلياً بكامل دقة الفاصلة العائمة، أما خيار الدقة فلا يتحكم إلا في عدد المنازل العشرية المعروضة. لذلك لا يؤدي خفض دقة العرض إلى تقريب كل حالة وسيطة عمداً أو إلى تراكم خطأ تقريب إضافي.
ويكرر الكائن النهائي آخر قيمتي x وy لتسهيل الأتمتة. إذا أصبح التعبير غير معرّف أو تجاوز النطاق العددي، يتوقف الحساب برسالة إدخال واضحة بدلاً من عرض قيم لانهائية مضللة.
فسروا القيمة التقريبية وتحققوا من موثوقيتها
طريقة أويلر طريقة عددية من الرتبة الأولى؛ فهي تتبع خط المماس على كل فترة بدلاً من منحنى الحل الدقيق. لذلك تكون النتيجة تقريبية، وعادةً ما يؤدي تصغير القيمة المطلقة لحجم الخطوة إلى خفض خطأ القطع الكلي عندما تكون المسألة حسنة السلوك. قارنوا قيم y النهائية؛ يزيد التقارب الوثيق الثقة، بينما يشير الفرق الكبير إلى أن الشبكة الخشنة غير كافية.
ولا تفترضوا أن زيادة الخطوات تعالج كل مسألة. فقد يجعل النمو السريع أو نقاط التفرد أو الانقطاعات أو المعادلات الصلبة طريقة أويلر الصريحة غير مستقرة، أو يفرض خطوات صغيرة بصورة غير عملية. وتأكدوا أيضاً من وصول التشغيلين إلى قيمة x النهائية نفسها قبل المقارنة.
يفيد جدول الخطوات في تحديد الموضع الذي تبدأ عنده نتيجتان في التباعد أو يتغير عنده الميل فجأة. في الأعمال العلمية أو الهندسية الحساسة للدقة، قارنوا بحل تحليلي معلوم متى توافر، وفكروا في طريقة أعلى رتبة أو أفضل من حيث الاستقرار. تصلح هذه الحاسبة أساساً شفافاً بوجه خاص؛ فتكرارها البسيط يكشف الافتراضات العددية ويمنحكم متتالية قابلة لإعادة الإنتاج للفحص أو التعليم أو الاختبار أو الإدخال في حساب لاحق.
حالات الاستخدام
التحقق من تمرين في المعادلات التفاضلية
أنشئوا جدول أويلر كاملاً وقارنوا كل ميل وتحديث بالحل المحسوب يدوياً.
إنشاء بيانات عددية قابلة لإعادة الإنتاج
استخدموا الصفوف الحتمية بيانات مرجعية للدروس أو الجداول الحسابية أو الاختبارات أو النماذج الأولية للتطبيقات.
الأسئلة الشائعة
ما المعادلات التفاضلية التي يمكن إدخالها؟
أدخلوا معادلة صريحة من الرتبة الأولى y' = f(x,y) مع قيمة ابتدائية عددية. ويمكن أن تستخدم المشتقة x وy والعمليات والأسس والثوابت والدوال المدعومة.
هل يمكن إجراء التكامل في الاتجاه العكسي؟
نعم. أدخلوا قيمة سالبة لـ h. تنتقل كل خطوة عندئذ إلى قيمة x أصغر مع تطبيق تحديث أويلر نفسه.
هل يغير خيار الدقة عملية التكرار؟
لا. فهو يتحكم في المنازل العشرية المعروضة فقط. ويحتفظ التكرار بدقة الفاصلة العائمة في JavaScript حتى إعداد المخرجات.
لماذا تفيد الحاسبة بأن المشتقة ليست قيمة منتهية؟
أصبح التعبير غير معرّف أو تجاوز النطاق في إحدى الخطوات، مثل لوغاريتم قيمة سالبة أو القسمة على صفر. راجعوا المعادلة والفترة وحجم الخطوة.
كيف يمكن تقدير دقة الإجابة؟
كرروا الحساب بنصف القيمة المطلقة للخطوة وضعف عدد الخطوات، ثم قارنوا y عند قيمة x النهائية نفسها. واستخدموا أيضاً طريقة أعلى رتبة في الأعمال الدقيقة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-step \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"derivative":"x + y","x0":0,"y0":1,"h":0.1,"steps":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-step", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"derivative": "x + y",
"x0": 0,
"y0": 1,
"h": 0.1,
"steps": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-step",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"derivative": "x + y",
"x0": 0,
"y0": 1,
"h": 0.1,
"steps": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-step", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"derivative":"x + y","x0":0,"y0":1,"h":0.1,"steps":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"derivative":"x + y","x0":0,"y0":1,"h":0.1,"steps":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-step", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"derivative": "x + y",
"x0": 0,
"y0": 1,
"h": 0.1,
"steps": 4
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.euler_method_step",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
اختاروا اتجاه الخطوة وراجعوا كل تحديث
في الخطوة n، تقيّم الحاسبة الميل f(x_n,y_n)، ثم تحسب y_(n+1) = y_n + h f(x_n,y_n) وx_(n+1) = x_n + h. يمكن تنفيذ ما يصل إلى 10,000 تحديث، وهو حد يكفي للجداول الكبيرة ويضبط مقدار العمل في المتصفح وعبر API.
فسروا القيمة التقريبية وتحققوا من موثوقيتها
ومن طرق التحقق العملية حل المسألة حتى نقطة النهاية نفسها مرتين: مرة باستخدام h، ثم باستخدام h/2 مع مضاعفة عدد الخطوات.
حالات التكامل
دراسة الحساسية لحجم الخطوة
أعيدوا مسألة القيمة الابتدائية بقيم أصغر لـ h وقارنوا التقريبات عند نقطة النهاية نفسها.
أسئلة تقنية
ما تكلفة طلب API؟
سعر API هو $0.002 لكل طلب. وتعمل حاسبة المتصفح محلياً ومجاناً.