Symbole de Legendre (a/p)
Le symbole de Legendre (2/7) vaut 1 : 2 est donc un carré modulo 7, car 3 fois 3 fait 9, qui laisse 2. Saisissez un entier et un premier impair pour obtenir 1, −1 ou 0, avec une lecture claire du résultat. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 2
- Puissance (W)
- 7
- A modulo
- 2
- Symbole
- 1
- Interprétation
- a is a quadratic residue modulo p
Le symbole de Legendre est le test classique de residuosité quadratique modulo un premier impair. Étant donné un entier a et un premier impair p, le symbole (a/p) vaut zéro lorsque p divise a, un lorsque a est un carré non nul modulo p, et moins un lorsque a est un non-résidu quadratique. Les cours de cryptographie, les algorithmes liés à la primalité, les preuves de réciprocité cubique et quadratique, et les problèmes de programmation compétitive s’appuient tous sur cet indicateur à trois valeurs. De nombreux langages exposent l’exponentiation modulaire mais laissent la convention de residuosité et la vérification de primalité à votre charge. Ce calculateur accepte a et p, vérifie que p est un premier impair, applique le critère d’Euler de façon déterministe et renvoie le symbole avec le résidu réduit de a et une courte interprétation, pour que vous puissiez utiliser le résultat sans re-dériver la puissance modulaire à la main.
Ce que signifie le symbole de Legendre et pourquoi il compte
En arithmétique modulaire la question « existe-t-il un entier x tel que x au carré est congruent à a modulo p ? » est fondamentale. Lorsque p est un premier impair la réponse se réduit à trois cas nets.
Si a est divisible par p, le symbole est défini comme zéro. Si a n’est pas divisible par p, la moitié des résidus non nuls sont des carrés (résidus quadratiques) et l’autre moitié des non-résidus ; le symbole de Legendre vaut plus un pour les résidus et moins un pour les non-résidus.
Cette trichotomie apparaît dans la loi de réciprocité quadratique, dans les preuves que certaines équations diophantiennes n’ont pas de solution, dans l’analyse de l’algorithme de racine carrée de Tonelli–Shanks, et dans les présentations de manuel des idées de primalité de Miller–Rabin et Solovay–Strassen qui comparent le critère d’Euler à une valeur de Jacobi déclarée.
Rejeter les modules composés ou pairs fait partie du contrat : le symbole de Legendre n’est pas défini pour ces modules, et une extension silencieuse de style Jacobi induirait en erreur ceux qui ont demandé Legendre spécifiquement.
Comment ce calculateur évalue (a/p) avec le critère d’Euler
Appelez la capacité avec les champs entiers a et p, où p doit être un premier impair entre trois et un billion inclus, et a un entier dont la valeur absolue est au plus un billion. L’implémentation valide d’abord types et bornes, puis exécute un test de primalité déterministe par division d’essai sur p. Le critère d’Euler affirme que a élevé à la puissance (p moins un) divisée par deux est congruent modulo p au symbole de Legendre.
Le calculateur calcule cette puissance modulaire avec une arithmétique BigInt exacte pour que les produits intermédiaires ne perdent jamais de précision dans les bornes publiées. Si la puissance est un le symbole est un. Si la puissance est p moins un le symbole est moins un.
Cas d’usage
Labs de crypto et de théorie des nombres
Enseignants et étudiants peuvent vérifier la residuosité quadratique modulo des premiers impairs à la demande et voir une erreur explicite lorsqu’un module d’exemple est composé ou pair.
Programmation compétitive et réciprocité
Les programmeurs compétitifs peuvent vérifier les valeurs de Legendre en résolvant des problèmes de réciprocité ou en validant qu’une étape de racine carrée modulo p est justifiée.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si p n’est pas un premier impair ?
Le message indique que p doit être un premier impair (par exemple lorsque p est pair ou composé). La validation échouée n’est pas facturée.
Quel algorithme calcule le symbole ?
Le critère d’Euler : (a/p) ≡ a^((p−1)/2) (mod p). La puissance modulaire est évaluée en arithmétique entière exacte après réduction de a modulo p et vérification que p est un premier impair.
Quelles plages de a et p sont acceptées ?
p doit être un premier impair de 3 à 1,000,000,000,000. a doit être un entier dont la valeur absolue est au plus cette même borne. Les valeurs hors de ces limites, ou p composé/pair, sont rejetées.
2 est-il un résidu quadratique modulo 7 ?
Oui. Le symbole de Legendre (2/7) vaut 1 : un carré laisse le reste 2 dans la division par 7. Par exemple, 3 au carré fait 9, et 9 divisé par 7 laisse 2.
Dans quel cas le symbole de Legendre vaut-il 0 ?
Uniquement lorsque p divise a, c’est-à-dire lorsque a est un multiple du premier p. Dans tous les autres cas, le résultat est 1 si a est un carré modulo p et −1 sinon.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/legendre-symbol \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"p":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/legendre-symbol", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"p": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/legendre-symbol",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"p": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/legendre-symbol", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"p":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"p":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/legendre-symbol", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 2,
"p": 7
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.legendre_symbol",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que signifie le symbole de Legendre et pourquoi il compte
Renvoyer un objet structuré avec symbol, a_mod et interpretation épargne aux appelants de mapper une puissance modulaire brute vers l’ensemble conventionnel {−1, 0, 1} et d’oublier que p égal à deux est exclu de la définition classique.
Comment ce calculateur évalue (a/p) avec le critère d’Euler
Les valeurs paires, les composites et p égal à deux échouent avec invalid_input et un message qui nomme p ; rien n’est facturé. Lorsque p est accepté, a est réduit en a_mod dans l’intervalle de zéro à p moins un. Si a_mod est zéro le symbole est zéro. Toute autre puissance indiquerait un module non premier et est traitée comme invalid_input par sécurité. La réponse inclut a, p, a_mod, symbol, residue (true, false ou null lorsque le symbole est zéro) et interpretation.
Usage pratique, limites, tarifs et livraison
Utilisez l’outil navigateur lorsque vous voulez une vérification rapide de residuosité en lisant une note de cryptographie, en vérifiant une congruence de devoir ou en déboguant une routine de racine carrée modulo p. Les entrées acceptées sont des entiers a de valeur absolue au plus un billion et des premiers impairs p de trois à un billion. Si vous avez besoin du symbole de Jacobi pour modules impairs composites ou d’une racine carrée modulaire explicite lorsque le symbole vaut un, utilisez une capacité ou un algorithme dédié ; cet outil s’arrête délibérément à la trichotomie de Legendre. Utilisez l’API lorsqu’un script, un correcteur ou une plateforme éducative a besoin de nombreuses évaluations de Legendre sans embarquer le critère d’Euler et un filtre de premiers. Chaque requête réussie est un article facturable à $0.002 ; les échecs de validation et les modules non premiers ne consomment pas de solde. Les résultats sont déterministes : le même couple produit toujours le même symbole, le même a_mod et la même chaîne d’interprétation. Branchez le endpoint sur des démos de réciprocité quadratique, des aides de programmation compétitive, des sandboxes d’enseignement crypto ou tout pipeline entier qui préfère l’arithmétique exacte aux heuristiques approximatives. Comme l’unité est un seul article et le moteur un parse pur, la latence reste faible et le canal web gratuit reflète l’API payante sans un second chemin de code qui pourrait diverger.
Cas d'intégration
Correcteurs de devoirs et pipelines symboliques
Correcteurs automatiques et scripts peuvent confirmer (a/p) ∈ {−1,0,1}, détecter un p non premier via invalid_input et garder chaque produit intermédiaire dans les bornes documentées.
Questions techniques
Comment calculer le symbole de Legendre avec cette API ?
Envoyez un JSON avec les champs entiers a et p (p premier impair) à numth.legendre_symbol. En succès la réponse renvoie symbol dans {−1, 0, 1}, plus a_mod, residue et interpretation.
Le calculateur du symbole de Legendre est-il gratuit ?
L’outil navigateur s’exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par article réussi ; entrées invalides et modules non premiers ne sont pas facturés.